Einführung in die Logarithmus-Gesetze (2 von 2)

Willkommen. Ich zeige dir nun die letzten beiden Logarithmus-Eigenschaften. Diese Eigenschaft ist für mich die offensichtlichste. Aber es ist okay, wenn sie das für dich nicht ist, vielleicht muss man etwas darüber nachdenken. Und ich ermutige dich, mit allen Logarithmus-Eigenschaften zu experimentieren, denn das ist der einzige Weg, um sie richtig zu lernen. Und der Sinn der Mathematik ist nicht nur, eine 1 in der nächsten Klausur zu bekommen. Der Sinn der Mathematik ist, sie so zu verstehen, dass du sie später in deinem Leben anwenden kannst, und nicht wieder alles neu lernen musst. Bei der nächsten Logarithmus- Eigenschaft habe ich A ⋅ log_B (C). A ⋅ log_B (C) ist dasselbe wie log_B (C)^A. Faszinierend. Schauen wir, ob es funktioniert. Nehmen wir 3 ⋅ log_2 (8). Diese Eigenschaft sagt aus, dass wir dasselbe erhalten, wie bei log_2 (8)^3. Es ist dasselbe. Wir rechnen es aus. Was ergibt log_2 (8)? Welchen Exponenten muss 2 haben, um 8 zu ergeben? 2^3 = 8. Also ist das 3. Wir haben hier diese 3, also rechnen wir 3 ⋅ 3. Das hier sollte also 9 ergeben. Wenn das 9 ergibt, dann wissen wir, dass diese Eigenschaft zumindest in diesem Beispiel stimmt. Wir wissen nicht, ob es für alle Beispiele gilt, deswegen willst du dir vielleicht den Beweis anschauen, den ich in anderen Videos behandele. Das ist aber ein fortgeschritteneres Thema. Zuerst einmal ist es am wichtigsten, die Anwendung zu verstehen. Was ergibt 2^9? Auf jeden Fall eine große Zahl. Im letzten Video haben wir herausgefunden, dass 2^8 = 256 ist. 2^9 ergibt dann also 512. Wenn 8^3 ebenfalls 512 ist, dann würde es stimmen, weil log_2 (512) = 9 ist. Was ist 8^3? 8^2 = 64. Jetzt rechnen wir 64 ⋅ 8. Es ergibt 512. Korrekt. Es gibt auch andere Lösungswege, denn 8^3 ist dasselbe wie 2^9. Woher wissen wir das? Nun ja, 8^3 = (2^3)^3, richtig? Ich habe die 8 einfach nur umgeformt. Und wir wissen von unseren Exponentialregeln, dass (2^3)^3 dasselbe ist wie 2^9. Und diese Exponenteneigenschaft, bei der du einen Exponenten hast und dann nochmal potenzierst, dann beide Exponenten einfach miteinander multiplizieren kannst, das ist die Exponenteneigenschaft, die zu dieser Logarithmus-Eigenschaft führt. Aber darum geht es in diesem Video nicht. In einem anderen Video wird das etwas formaler bewiesen. Ich zeige dir noch eine Logarithmus-Eigenschaft, dann wiederhole ich alles und mache noch ein paar Beispiele. Das ist wahrscheinlich die nützlichste Logarithmus-Eigenschaft, wenn du taschenrechnersüchtig bist. Ich zeige dir, warum. Wir nehmen log_B (A) = log_C (A) / log_C (B). Warum ist das eine nützliche Eigenschaft, wenn du taschenrechnersüchtig bist? Sagen wir, du sitzt in der Schule und es gibt einen Test. Der Lehrer sagt, dass du deinen Taschenrechner benutzen darfst, um herauszufinden, was log_17 (357) ergibt. Und du suchst nach der log_17-Taste auf deinem Tachenrechner, und findest sie nicht. Denn es gibt keine log_17-Taste auf deinem Taschenrechner. Du hast wahrscheinlich entweder eine log-Taste oder eine ln-Taste. Die log-Taste auf deinem Taschenrechner hat wahrscheinlich die Basis 10. Und die ln-Taste auf deinem Taschenrechner hat die Basis e. Keine Sorge, falls du e nicht kennst, es ist ungefähr 2,71. Es ist eine Zahl. Es ist eine erstaunliche Zahl, aber darüber reden wir in späteren Videos. Es gibt also nur zwei Basen auf deinem Taschenrechner. Wenn du also einen Logarithmus mit einer anderen Basis herausfinden willst, wendest du einfach diese Eigenschaft an. Wenn du diese Aufgabe also in einem Test bekommst, weißt du, dass es dasselbe ist wie z.B. log_10 (357) / log_10 (17). Du könntest also einfach 357 in deinen Taschenrechner eintippen, die log-Taste drücken und würdest etwas erhalten. Dann könntest du 17 eintippen, die log- Taste drücken und würdest etwas erhalten. Dann dividierst du die Werte und erhältst die Antwort. Das ist also eine sehr nützliche Eigenschaft für taschenrechnersüchtige Leute. Wie gesagt, ich gehe nicht sehr ins Detail. Für mich ist es die nützlichste Eigenschaft, sie ergibt sich, offensichtlich, aus den Exponentialeigenschaften. Aber es ist schwierig, die Intuition einfach zu beschreiben, also solltest du dir den Beweis dafür ansehen, falls du nicht glaubst, warum das passiert. Das ist aber wahrscheinlich die Eigenschaft, die du in deinem Alltag am meisten anwenden wirst. Ich verwende sie immer noch in meinem Job. Damit du weißt, dass Logarithmen nützlich sind. Kommen wir zu ein paar Beispielen. Ich forme ein paar in eine einfachere Schreibweise um. Ich habe den Logarithmus log_2 (√(32/√8)). Wie forme ich ihn um, damit er einfacher ist? Es ist dasselbe wie log_2 (32/√8)^(1/2). Und wir wissen durch unsere dritte Logarithmus-Eigenschaft, dass es dasselbe ist wie 1/2 ⋅ log_2 (32/√8). Ich habe einfach den Exponenten genommen und ihn zum Koeffizienten des gesamten Ausdrucks gemacht. Das haben wir zu Beginn dieses Videos gelernt. Jetzt haben wir hier einen kleinen Quotienten, richtig? log_2 (32/√8). Wir schreiben also 1/2 ⋅ (log_2 (32) - log_2 (√8)). Wir benutzen Minus, weil das in einem Quotienten ist. Hier haben wir wieder eine Quadratwurzel, also können wir das als 1/2 (log_2 (32) - 1/2 ⋅ log_2 (8)) schreiben. 8^(1/2) ist dasselbe wie 1/2 ⋅ log_2 (8). Diese Eigenschaft haben wir zu Beginn des Videos kennengelernt. Dann könnten wir diese 1/2 vom Anfang ausmultiplizieren. Es ergibt 1/2 ⋅ log_2 (32) - 1/4 ⋅ log_2 (8)). Das ergibt 5/2. Das ergibt 3. 3 ⋅ (-1/4) = -3/4. Oder 10/4 - 3/4 = 7/4. Ich hab wahrscheinlich Rechenfehler gemacht, aber du verstehst, was ich meine. Bis bald!