Verwenden der logarithmischen Potenzregel

Wir sollen log_5 (x^3) vereinfachen. Wir werden es einfach umschreiben, es ist Ansichtssache, ob es vereinfacht ist oder nicht. Ich nehme mal an, dass wir die Logarithmus-Eigenschaft log_x (y^z) hier anwenden sollen. Das ist dasselbe wie z ⋅ log_x (y). Das ist also eine Logarithmus-Eigenschaft. Wenn ich den Logarithmus von etwas mit einer Basis und einem Exponenten habe, kann ich diesen Exponenten nach vorne stellen, und mit dem Logarithmus der Basis von y multiplizieren, Wir haben diese Eigenschaft also hier angewandt. Wenn wir die Aufgabe gelöst haben, werde ich erklären, warum das Sinn ergibt und von den Exponentialeigenschaften abgeleitet ist. Wir wollen die Eigenschaft jetzt auf log_5 (x^3) anwenden. Das hier ist der Exponent. Das ist dasselbe wie z. Diese 3 können wir nach vorne stellen, es ist dasselbe wie 3 ⋅ log_5 (x). Das ist nur eine andere Schreibweise, die wir durch Anwendung der Eigenschaft erhalten. Man könnte sagen, dass wir vereinfacht haben, da wir den Exponenten aus dem Logarithmus rausgeholt haben, und wir nun diese Zahl mit dem Logarithmus multiplizieren. Jetzt denken wir darüber nach, warum das eigentlich Sinn ergibt. Nehmen wir mal an, wir wissen, dass a^b = c ist. Das ist als Exponentialgleichung geschrieben. Wenn wir die Gleichung als Logarithmusgleichung darstellen wollen, würden wir log_a (c) = b schreiben. Welchen Exponenten muss a haben, damit ich c erhalte? a muss b als Exponenten haben. a^b = c. Okay. Jetzt nehme ich beide Seiten dieser Gleichung hier, und setze d in ihren Exponenten. Ich schreibe es hier drüben auf. Ich schreibe die ursprüngliche Gleichung auf: a^b = c, und setze auf beiden Seiten d in den Exponenten. Ich sollte in meiner Benennung konsequenter sein und nur Kleinbuchstaben verwenden. Ich setze hier d in den Exponenten, und ich setze hier d in den Exponenten. Wenn ich beiden Seiten denselben Exponenten hinzufüge, dann sind sie immer noch gleich. Hier drüben können wir jetzt anwenden, was wir über Exponentialeigenschaften wissen. Wenn ich a^b habe, und dann d in den Exponenten davon setze, sagen unsere Exponentialeigenschaften, dass es dasselbe ist wie a^bd. Ich schreibe es hier auf. Wir wenden unser Wissen über Exponentialeigenschaften an, und sehen, dass das dasselbe ist wie a^bd. Wir haben also a^bd = c^d. Wenn wir diese Exponentialgleichung jetzt als Logarithmusgleichung schreiben, würde sie log_a (c)^d = bd lauten. Welchen Exponenten muss a haben, damit wir c^d erhalten? Die Antwort lautet bd. Aber wir wissen bereits, dass b das hier drüben ist. Wenn wir b also hierdurch ersetzen, und das hier als db schreiben, erhalten wir log_a (c)^d = bd. Du könntest auch db sagen, wenn du die Reihenfolge änderst. Und das ergibt also d ⋅ b. b = log_a (c). Fertig. Wir haben diese Eigenschaft angewandt. log_a (c)^d = d ⋅ log_a (c), was wir hier drüben agewandt haben.