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Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 8

Lektion 3: Eigenschaften von Logarithmen

Einführung in die Logarithmus-Gesetze

Wir lernen die Gesetze des Logarithmus kennen und wie man sie benutzt um logarithmische Ausdrücke umzuschreiben. Zum Beispiel, schreibe log₂(3a) als Summe.


Die Produktregel	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
Die Quotientenregal	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
Die Potenzregel	$\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

(Diese Eigenschaften können auf alle Werte von

M

N

, und

b

für jeden dadurch definierten Logarithmus angewendet werden, wenn die

M

N > 0

und

0 < b \neq 1

gilt.)

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Du solltest inzwischen wissen, was Logarithmen sind. Wenn das nicht der Fall ist, dann beschäftige dich zuerst mit der Einführung zu Logarithmen.

Was du in dieser Lektion lernst

Logarithmen haben, genau wie auch Exponenten, haben viele nützliche Eigenschaften, die verwendet werden können, um logarithmische Ausdrücke vereinfachen und logarithmische Gleichungen zu lösen. Dieser Artikel untersucht drei dieser Eigenschaften.

Wir sehen uns jede Eigenschaft einzeln an.

Die Produktregel: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Diese Eigenschaft sagt aus, dass der Logarithmus eines Produkt es die Summe der Logarithmen seiner Faktoren ist.

Sicher! Wenn

M = 4

N = 8

und

b = 2

ist, dann folgt entsprechend,

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Die Arbeit unten zeigt, dass die Eigenschaft in diesem Fall tatsächlich wahr ist!

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) \\ \log_{2} (32) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Weil 4 \cdot 8 = 32 ist \\ 5 & = 2 + 3 & Auswertung der Logarithmen \\ 5 & = 5 \end{aligned}$ ‍

Das ist kein Beweis! Vielmehr kann es uns davon überzeugen, dass die Eigenschaft plausibel ist und uns vielleicht einen Einblick geben, warum dies wahr ist.

Wir können die Produktregel verwenden um logarithmische Ausdücke umzuschreiben.

Beispiel 1: Logarithmuen als Summe schreiben

Für unsere Zwecke bedeutet, einen Logarithmus zu erweitern, dass wir ihn als die Summe von mindestens zwei Logarithmen schreiben.

Schreib

\log_{6} (5 y)

als Summe.

Beachte, dass die beiden Faktoren des Arguments des Logarithmus

5

und

y

sind. Wir können die Produktregel direkt verwenden um den Logarithmus als Summe zu schreiben.

$\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \cdot y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) & Die Produktregel \end{aligned}$ ‍

Beispiel 2: Vereinfachen von Logarithmen

Für unsere Zwecke bedeutet, eine Summe von mindestens zwei Logarithmen zu komprimieren, dass sie als einen einzigen Logarithmus schreiben.

Vereinfache

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

Da die beiden Logarithmen die gleiche Basis

3

haben, können wir die Produktregel in ungekehrter Richtung anwenden:

$\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \cdot x) & Die Produktregel \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}$ ‍

Ein wichtiger Hinweis

Wenn wir logarithmische Ausdrücke mit der Produlktregel vereinfachen, muss die Basis aller Logarithmen im Ausdruck gleich sein.

Zum Beispiel können wir die Produktregel nicht verwenden, um etwas wie

\log_{2} (8) + \log_{3} (y)

zu vereinfachen.

Überprüfe dein Verständnis

1) Schreibe $\log_{2} (3 a)$ ‍ als Summe.

2) Vereinfache $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍.

Die Quotientenregel: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Diese Eigenschaft sagt aus, dass der Logarithmus eines Quotienten die Differenz von Dividend und Divisor ist.

Sicher! Wenn

M = 81

N = 3

und

b = 3

, dann folgt entsprechend,

\log_{3} (\frac{81}{3}) = \log_{3} (81) - \log_{3} (3)

Die Arbeit unten zeigt, dass die Eigenschaft in diesem Fall tatsächlich wahr ist!

$\begin{aligned} \log_{3} (\frac{81}{3}) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) \\ \log_{3} (27) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) & Weil 81 : 3 = 27 ist \\ 3 & = 4 - 1 & Auswertung der Logarithmen \\ 3 & = 3 \end{aligned}$ ‍

Das ist kein Beweis! Vielmehr kann es uns davon überzeugen, dass die Eigenschaft plausibel ist und uns vielleicht einen Einblick geben, warum dies wahr ist.

Jetzt benutzen wir die Quotientenregel, um logarithmische Ausdrücke umzuschreiben.

Beispiel 1: Logarithmuen als Summe schreiben

Schreib

\log_{7} (\frac{a}{2})

als die Subtraktion von zwei Logarithmen durch Anwendung der Quotientenregel.

$\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) & Die Quotientenregel \end{aligned}$ ‍

Beispiel 2: Vereinfachen von Logarithmen

Vereinfache

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

Da die beiden Logarithmen die gleiche Basis

4

haben, können wir die Quotientenregel in ungekehrter Richtung anwenden:

$\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) & die Quotientenregel \end{aligned}$ ‍

Ein wichtiger Hinweis

Wenn wir logarithmische Ausdrücke mit der Quotientenregal vereinfachen, muss die Basis aller Logarithmen im Ausdruck gleich sein.

Zum Beispiel können wir die Quotientenregel nicht um zu vereinfachen auf wie

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

Überprüfe dein Verständnis

3) Schreibe $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍ als Summe.

4) Vereinfache $\log (3 z) - \log (8)$ ‍.

Die Potenzregel: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Diese Regel besagt, dass der Log einer Potenz der Exponent mal dem Logarithmus der Basis der Potenz ist.

Sicher! Wenn

M = 4

p = 2

und

b = 4

ist, dann folgt entsprechend,

\log_{4} (4^{2}) = 2 \log_{4} (4)

Die Arbeit unten zeigt, dass die Eigenschaft in diesem Fall tatsächlich wahr ist!

$\begin{aligned} \log_{4} (4^{2}) & = 2 \log_{4} (4) \\ \log_{4} (16) & = 2 \log_{4} (4) & Weil 4^{2} = 16 ist \\ 2 & = 2 \cdot 1 & Auswertung der Logarithmen \\ 2 & = 2 \end{aligned}$ ‍

Das ist kein Beweis! Vielmehr kann es uns davon überzeugen, dass die Eigenschaft plausibel ist und uns vielleicht einen Einblick geben, warum dies wahr ist.

Jetzt benutzen wir die Potenz, um logarithmische Ausdrücke umzuschreiben.

Beispiel 1: Logarithmuen als Summe schreiben

Für unsere Zwecke in diesem Abschnitt bedeutet schreib ein einzelne Logarithmus als Summe als ein Vielfaches des anderen Logarithmus zu schreiben.

Wir verwenden die Potenzregel, um

\log_{2} (x^{3})

als Summe zu schreiben.

$\begin{aligned} \log_{2} (x^{3}) & = 3 \cdot \log_{2} (x) & Die Potenzregel \\ = 3 \log_{2} (x) \end{aligned}$ ‍

Beispiel 2: Vereinfachen von Logarithmen

Für unsere Zwecke in diesem Abschnitt bedeutet vereinfachen ein Vielfaches des Logarithmus als ein einzelne Logarithmus zu schreiben ist.

Wir verwenden die Potenzregel, um

4 \log_{5} (2)

zu vereinfachen,

Wenn wir einen logarithmischen Ausdruck mit der Potenzregel vereinfachen, werden Faktoren zu Potenzen.

$\begin{aligned} 4 \log_{5} (2) & = \log_{5} (2^{4}) & Die Potenzregel \\ = \log_{5} (16) \end{aligned}$ ‍

Überprüfe dein Verständnis

5) Schreibe $\log_{7} (x^{5})$ ‍ als Summe.

6) Vereinfache $6 \ln (y)$ ‍.

Challengeaufgaben

Um die nächsten Probleme zu lösen musst du jeweils einige Eigenschaften anwenden. Probier es aus!

1) Welche der folgenden ist äquivalent zu $\log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5})$ ‍?

Benutze zuerst die Quotientenregel.

\begin{aligned} \log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5}) & = \log_{b} (2 x^{3}) - \log_{b} (5) & Die Quotientenregel \end{aligned}

Als nächstes sehen wir, dass es ein Produkt im ersten Term gibt. Verwende die Produktregel um dies als die Summe zweiter Logarithmen schreiben.

\begin{aligned} = \log_{b} (2 x^{3}) - \log_{b} (5) \\ = \log_{b} (2) + \log_{b} (x^{3}) - \log_{b} (5) & Die Produktregel \end{aligned}

Schließlich bemerkst du, dass es noch eine Potenz im Ausdruck gibt. Wir können die Potenzregel benutzen um diesen Exponent nach vorne zu ziehen.

\begin{aligned} = \log_{b} (2) + \log_{b} (x^{3}) - \log_{b} (5) \\ = \log_{b} (2) + 3 \log_{b} (x) - \log_{b} (5) & die Potenzregel \end{aligned}

Ein logarithmischer Ausdruck ist vollständig erweitert, wenn es keine Potenzen, Produkte oder Quotienten mehr in den Argumenten der Logarithmen gibt.

Als Summer geschrieben lautet der Ausdruck also

\log_{b} (2) + 3 \log_{b} (x) - \log_{b} (5)

2) Welche der folgenden ist äquivalent zu $3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5)$ ‍?

Um diesen logarithmischen Ausdruck zu vereinfachen, schreiben wir erst die Vielfachen des Logarithmus als Potenzen mit der Potenzregel.

\begin{aligned} 3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5) & = \log_{2} (x^{3}) - \log_{2} (5^{2}) \\ = \log_{2} (x^{3}) - \log_{2} (25) \end{aligned}

Benutze als nächsten die Quotientenregel um den Ausdruck als einzelnen Logarithmus zu schreiben.

\begin{aligned} = \log_{2} (x^{3}) - \log_{2} (25) \\ = \log_{2} (\frac{x^{3}}{25}) \end{aligned}

Die vereinfache Form ist

\log_{2} (\frac{x^{3}}{25})

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Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Was du in dieser Lektion lernst

Die Produktregel: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Beispiel 1: Logarithmuen als Summe schreiben

Beispiel 2: Vereinfachen von Logarithmen

Ein wichtiger Hinweis

Überprüfe dein Verständnis

Die Quotientenregel: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Beispiel 1: Logarithmuen als Summe schreiben

Beispiel 2: Vereinfachen von Logarithmen

Ein wichtiger Hinweis

Überprüfe dein Verständnis

Die Potenzregel: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Beispiel 1: Logarithmuen als Summe schreiben

Beispiel 2: Vereinfachen von Logarithmen

Überprüfe dein Verständnis

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Die Produktregel: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Die Quotientenregel: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Die Potenzregel: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍