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Hauptinhalt

Einführung in die Logarithmus-Gesetze

Wir lernen die Gesetze des Logarithmus kennen und wie man sie benutzt um logarithmische Ausdrücke umzuschreiben. Zum Beispiel, schreibe log₂(3a) als Summe.
Die Produktregellog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Die Quotientenregallog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Die Potenzregellog, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
(Diese Eigenschaften können auf alle Werte von M, N, und b für jeden dadurch definierten Logarithmus angewendet werden, wenn die M, N, is greater than, 0 und 0, is less than, b, does not equal, 1 gilt.)

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Du solltest inzwischen wissen, was Logarithmen sind. Wenn das nicht der Fall ist, dann beschäftige dich zuerst mit der Einführung zu Logarithmen.

Was du in dieser Lektion lernst

Logarithmen haben, genau wie auch Exponenten, haben viele nützliche Eigenschaften, die verwendet werden können, um logarithmische Ausdrücke vereinfachen und logarithmische Gleichungen zu lösen. Dieser Artikel untersucht drei dieser Eigenschaften.
Wir sehen uns jede Eigenschaft einzeln an.

Die Produktregel: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Diese Eigenschaft sagt aus, dass der Logarithmus eines Produkt es die Summe der Logarithmen seiner Faktoren ist.
Wir können die Produktregel verwenden um logarithmische Ausdücke umzuschreiben.

Beispiel 1: Logarithmuen als Summe schreiben

Für unsere Zwecke bedeutet, einen Logarithmus zu erweitern, dass wir ihn als die Summe von mindestens zwei Logarithmen schreiben.
Schreib log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis als Summe.
Beachte, dass die beiden Faktoren des Arguments des Logarithmus start color #11accd, 5, end color #11accd und start color #1fab54, y, end color #1fab54 sind. Wir können die Produktregel direkt verwenden um den Logarithmus als Summe zu schreiben.
log6(5y)=log6(5y)=log6(5)+log6(y)        Die Produktregel\begin{aligned}\log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y)\\ \\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&~~~~~~~~\small{\gray{\text{Die Produktregel}}} \end{aligned}

Beispiel 2: Vereinfachen von Logarithmen

Für unsere Zwecke bedeutet, eine Summe von mindestens zwei Logarithmen zu komprimieren, dass sie als einen einzigen Logarithmus schreiben.
Vereinfache log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis.
Da die beiden Logarithmen die gleiche Basis 3 haben, können wir die Produktregel in ungekehrter Richtung anwenden:
log3(10)+log3(x)=log3(10x)Die Produktregel=log3(10x)\begin{aligned}\log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&\small{\gray{\text{Die Produktregel}}}\\ \\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Ein wichtiger Hinweis

Wenn wir logarithmische Ausdrücke mit der Produlktregel vereinfachen, muss die Basis aller Logarithmen im Ausdruck gleich sein.
Zum Beispiel können wir die Produktregel nicht verwenden, um etwas wie log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis zu vereinfachen.

Überprüfe dein Verständnis

1) Schreibe log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis als Summe.

2) Vereinfache log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.

Die Quotientenregel: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Diese Eigenschaft sagt aus, dass der Logarithmus eines Quotienten die Differenz von Dividend und Divisor ist.
Jetzt benutzen wir die Quotientenregel, um logarithmische Ausdrücke umzuschreiben.

Beispiel 1: Logarithmuen als Summe schreiben

Schreib log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis als die Subtraktion von zwei Logarithmen durch Anwendung der Quotientenregel.
log7(a2)=log7(a)log7(2)Die Quotientenregel\begin{aligned}\log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &\small{\gray{\text{Die Quotientenregel}}} \end{aligned}

Beispiel 2: Vereinfachen von Logarithmen

Vereinfache log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Da die beiden Logarithmen die gleiche Basis 4 haben, können wir die Quotientenregel in ungekehrter Richtung anwenden:
log4(x3)log4(y)=log4(x3y)die Quotientenregel\begin{aligned}\log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&\small{\gray{\text{die Quotientenregel}}}\\ \\ \end{aligned}

Ein wichtiger Hinweis

Wenn wir logarithmische Ausdrücke mit der Quotientenregal vereinfachen, muss die Basis aller Logarithmen im Ausdruck gleich sein.
Zum Beispiel können wir die Quotientenregel nicht um zu vereinfachen auf wie log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Überprüfe dein Verständnis

3) Schreibe log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis als Summe.

4) Vereinfache log, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, log, left parenthesis, 8, right parenthesis.

Die Potenzregel: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Diese Regel besagt, dass der Log einer Potenz der Exponent mal dem Logarithmus der Basis der Potenz ist.
Jetzt benutzen wir die Potenz, um logarithmische Ausdrücke umzuschreiben.

Beispiel 1: Logarithmuen als Summe schreiben

Für unsere Zwecke in diesem Abschnitt bedeutet schreib ein einzelne Logarithmus als Summe als ein Vielfaches des anderen Logarithmus zu schreiben.
Wir verwenden die Potenzregel, um log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis als Summe zu schreiben.
log2(x3)=3log2(x)Die Potenzregel=3log2(x)\begin{aligned}\log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&\small{\gray{\text{Die Potenzregel}}}\\ \\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Beispiel 2: Vereinfachen von Logarithmen

Für unsere Zwecke in diesem Abschnitt bedeutet vereinfachen ein Vielfaches des Logarithmus als ein einzelne Logarithmus zu schreiben ist.
Wir verwenden die Potenzregel, um 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis zu vereinfachen,
Wenn wir einen logarithmischen Ausdruck mit der Potenzregel vereinfachen, werden Faktoren zu Potenzen.
4log5(2)=log5(24)  Die Potenzregel=log5(16)\begin{aligned}\maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)~~&&\small{\gray{\text{Die Potenzregel}}}\\ \\ &=\log_5(16)\\ \end{aligned}

Überprüfe dein Verständnis

5) Schreibe log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis als Summe.

6) Vereinfache 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis.

Challengeaufgaben

Um die nächsten Probleme zu lösen musst du jeweils einige Eigenschaften anwenden. Probier es aus!
1) Welche der folgenden ist äquivalent zu log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis?
Wähle eine Lösung.

2) Welche der folgenden ist äquivalent zu 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis?
Wähle eine Lösung.

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