Verwenden der logarithmischen Produktregel

Wir sollen log_3 (27x) vereinfachen. Dieser Logarithmus ist bereits sehr vereinfacht. Aber ich nehme mal an, wir sollen Logarithmus-Eigenschaften anwenden, und eine andere Schreibweise dafür finden. Legen wir los. Bei diesem Logarithmus hier fragen wir uns, welchen Exponenten 3 haben muss, damit wir 27x erhalten. 27x ist dasselbe wie 27 ⋅ x. Die Logarithmus-Eigenschaft, die wir verwenden sollen, lautet log_b (a ⋅ c) = log_b (a) + log_b (c). Wir kennen das von den Exponentialeigenschaften, dass, wenn du zwei Exponenten mit gleicher Basis hast, die Exponenten addieren kannst. Ich zeige es dir. Falls dieser Teil etwas verwirrend ist: das Wichtige an diesem Beispiel ist die Anwendung. Aber es ist noch besser, wenn du die Intuition dafür hast. Nehmen wir log_b (a ⋅ c) = x. Das hier ergibt also x. Das hier drüben ergibt y. log_b (a) = y. Und sagen wir mal, dass log_b (c) = z ist. Das hier sagt uns, dass b^x = a ⋅ c ist. Das hier sagt uns, dass b^y = a ist. Und das hier sagt uns, dass b^z = c ist. Ich schreibe also dieselbe Gleichung, ich schreibe sie nur als Exponentialgleichung, anstatt als logarithmische Gleichung. b^z = c. Es sind dieselben Gleichungen, nur anders formuliert. Wenn wir wissen, dass a = b^y ist, und dass c = b^z ist, dann können wir schreiben, dass b^x = b^y ⋅ b^z ist. Und wir wissen von unseren Exponentialeigenschaften, dass, wenn wir b^y ⋅ b^z rechnen, es dasselbe ist wie b^(y + z). Das wissen wir von unseren Exponentialeigenschaften. Wenn b^(y + z) also dasselbe ist wie b^x, dann wissen wir, dass x = y + z sein muss. Wenn du verwirrt bist, ist das nicht so schlimm. Das wichtigste ist, dass du weißt, wie man es anwendet. Dann kannst du darüber nachdenken und ein paar Zahlen ausprobieren. Du musst nur verstehen, dass Logarithmen nur Exponenten sind. Was bedeutet das? Wenn du einen Logarithmus ausrechnest, bekommst du einen Exponenten, den z.B. b haben muss, um a ⋅ c zu erhalten. Wir wenden jetzt diese Eigenschaft an. Wenn wir sie auf diesen Logarithmus anwenden, schreiben wir log_3 (27 ⋅ x) = log_3 (27) + log_3 (x). Und das hier können wir ausrechnen. Dieser Logarithmus sagt uns, welchen Exponenten 3 haben muss, damit wir 27 erhalten. 3^? = 27. 3^3 = 27. 3 ⋅ 3 = 9, 9 ⋅ 3 = 27. Das hier ergibt also 3. Wir erweitern also den Logarithmus, da wir jetzt zwei anstatt einem Term haben. Die ursprüngliche Schreibweise ist eigentlich die vereinfachte Version. Aber wenn wir es umschreiben, wird der erste Term 3. Und dann haben wir noch + log_3 (x). Das ist eine alternative Schreibweise von log_3 (27x). Wir haben eigentlich nicht wirklich etwas vereinfacht. Wir haben nur Logarithmus-Eigenschaften angewandt und eine alternative Schreibweise gefunden.