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Beweis der Quotientenregel und der Potenzregel von Logarithmen

Sal beweist die Quotientenregel des Logarithmus, log(a) - log(b) = log(a/b), und die Potenzregel, k⋅log(a) = log(aᵏ). Erstellt von Sal Khan

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Video-Transkript

-- nicht den Logarithmus ziehen -- beide Seiten multiplizieren -- ist gleich B mal C Aber dieses mal werden wir alles negativ schreiben. Aber ihr seit jetzt hoffentlich befriedigt dass wir dieses neue Aber lasst uns zurückgehen. Alles was ich getan habe ist beide Seiten dieser Gleichung Also dieser Ausdruck muss gleich zu jenem Ausdruck sein. Also könnte man den Koeffizient nehmen und stattdessen Also lasst uns mit etwas experimentieren. Also lasst uns wiederholen, was wir bislang über Logarithmen wissen. Also muss ich auch diese Seite mit C potenzieren Also was ich jetzt tun will ist, ein Experiment zu machen. Also was können wir hier tun? Also was wissen wir? Also werde ich es im Nächsten machen. Also, der Logarithmus zur Basis x von A durch B -- Dies hier drüben ist ein x --- Basis X von A hoch C Bis dann. C mal den Logarithmus zur Basis x von A, aber das ist C mal C mal der Logarithmus zur Basis x von A ist gleich der logarithmischen Dadurch bekomme ich "C mal den Logarithmus zur Basis X von A ist gleich Damit will ich sagen, dass x hoch m gleich B ist. Das bedeutet einfach, dass x hoch BC gleich A hoch C ist Das ist gleich der logarithmischen Basis x von A hoch C Das ist kein x, sonder ein C !!! Das macht es interessanter. Dass ist B. Dass ist der Logarithmus zur Basis x von B. Denn alles was ich getan habe ist, dies als logarithmischen Ausdruck zu schreiben. Der Logarithmus zur Basis x von A ist gleich l. Der Logarithmus zur Basis x von A minus m. Dies ist eine Art Cursor. Dies ist eine weitere Eigenschaft der Logarithmen. Diese Ausdrücke gleichen sich. Diese Seite ist X hoch B hoch C, Dieses BC ist natürlich dasselbe wie jenes BC. Eigenschaft der Logarithmen stolpern können Genauso könnte man sagen, dass x hoch B gleich A ist Ich denke Ihr merkt, dass ich noch nichts besonderers getan habe, Ich habe m gleich hier geschrieben. Ich hätte es wahrscheinlich nicht beweisen müssen. Ich mache einfach eine große Gleichheitskette hier. Ich potenziere beides mit C Ich sollte wahrscheinlich stattdessen einen Punkt machen. Ich werde beide Seiten dieser Gleichung mit C multiplizieren. Ich werde das hier oben machen, weil ich glaube wir sind Ich werde jetzt beide Seiten der Gleichung mit C multiplizieren. Ihr hättet das vermutlich auch durch Division versuchen können. Lasst es uns als logarithmischen Ausdruck schreiben Lasst mich die Farben wechseln. Lasst sie uns C nennen. Lasst uns den Logarithmus von beiden Seiten bilden. Lasst uns diese Seite mit C potenzieren Lasst uns sagen, dass der Logarithmus zur Basis x von A geteilt durch B gleich n ist. Lasst uns sagen, dass der Logarithmus zur Basis x von B gleich m ist. Lasst uns sagen, dass der Logarithmus zur Basis x von B gleich m ist. Lasst uns sehen, ob wir über eine andere Logarithmus habe wo ich den Logarithmus multipliziere, also wenn ich Logarithmus zur Basis x von B gleich dem Logarithmus zur Basis Logarithmusgesetz gefunden haben. Mal C. Nehmen wir an, dass der Logarithmus zur Basis x von A gleich B ist Nun habe ich noch ein Gesetz was ich euch zeigen will, Nun lasst mich eine Frage stellen. Nun, Ich weiß es nicht Nun, das ist nur die Exponentenregel und man multipliziert einfach die beiden Exponenten Nun, das ist nur die Exponentenregel und man multipliziert einfach die beiden Exponenten Nun, ich habe es genau hier gemacht. Nun, lasst uns sagen, dass x hoch l gleich A ist. Nun, wahrscheinlich könnt Ihr das selbst rausfinden, aber wir könnten auch Nun, was bringt uns das? Nun, was ist eine andere Art zu sagen A durch B? Nun, was wäre eine andere Art, n zu schreiben? Nämlich, dass wenn ich irgendeine Art von Koeffizient vor dem Oder dies ist auch gleich x hoch l minus m. Oder lasst uns nur dies schreiben Richtig? Sagen wir dass der Logarithmus zur Basis x von A gleich l ist. So weit, so gut So wissen wir, dass n gleich l - m ist. Soweit so gut! Und Ich glaube wir haben jetzt eine weitere Eingeschaft der Logarithmen Und dann werde ich einfach die Farbe wechseln Und dies soll bedeuten, dass x hoch n gleich A durch B ist. Und ich denke Ihr merkt jetzt, dass etwas Und wir wissen - wir haben gerade gelernt, dass der Logarithmus zur Basis x von A plus Und wir wissen von unseren Potenzregeln -- dies könnte Voilà. Was ist eine andere Art n zu schreiben? Was können wir jetzt tun? Was passiert, wenn ich diesen Ausdruck mit einer anderen Variable multipliziere? Was passiert, wenn man statt einem positiven Vorzeichen hier Was passiert, wenn wir etwas potenzieren und wir das Ergebnis nochmal mit einem anderen Exponenten potenzieren? Was passiert, wenn wir etwas potenzieren und wir das Ergebnis nochmal mit einem anderen Exponenten potenzieren? Was passiert, wenn wir etwas potenzieren und wir das Ergebnis nochmal mit einem anderen Exponenten potenzieren? Wenn man Exponenten schreibt Wie können wir alle diese Ausdrücke als Exponenten schreiben? Wir hatten gesagt, dass dies dasselbe wäre wie jenes. Wir könnten genausogut sagen Wir wissen das bereits. Wir wissen, dass X hoch BC gleich A hoch C ist Wir wissen, dass wenn ich schreibe Wir wissen, dass wenn ich schreibe Wir wissen, dass x hoch n gleich x hoch l minus m ist. aber ich glaube ich habe keine Zeit mehr dafür in diesem Video. aber wie auch immer. auch geschrieben werden als x hoch l, x hoch minus m. dass der Logarithmus zur Basis x von A hoch C gleich B mal C ist den Logarithmus zur Basis x von A denselben Beweis führen wie am Anfang. dies ist ein anderer Weg n zu schreiben ein negatives Vorzeichen hinsetzt? hoch C zu nehmen ihn zum Exponenten machen über den Term innerhalb des Logarithmus interessantes passiert ist. ist gleich A hoch C ist gleich l. l ist gleich iher noch nicht zumindest noch über ein weiteres Logarithmusgesetz gestoßen. nun, dass ist genau dasselbe wie x hoch l um es interessanter zu machen. weil das A ist, geteilt durch x hoch m. würde man sowas benutzen, einen Cursor. x von A mal B ist.