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Einführung in die Logarithmus-Gesetze (1 von 2)

Video-Transkript

Willkommen zu diesem Video über Logarithmus-Eigenschaften. Das wird ein sehr praktisches Video werden. Wenn du nicht glaubst, dass eine dieser Eigenschaften wahr ist, und Beweise sehen willst, gibt es 3 oder 4 Videos, in denen diese Eigenschaften bewiesen werden. Ich werde dir die Eigenschaften zeigen und wie man sie anwendet. Es wird ein bisschen praktischer. Zuerst wiederholen wir kurz, was ein Logarithmus ist. Wir haben a^b = c. Diese Gleichung können wir anstatt mit dem Exponenten auch als einen Logarithmus schreiben. Wir können sagen, dass log_a (c) = b ist. Es sind gleichwertige Ausdrücke. Sie haben nur unterschiedliche Ergebnisse. Im ersten erhältst du c als Ergebnis. Das ist es, was die Exponentialgleichung macht. Im zweiten hast du a, setzt irgendetwas in den Exponenten und erhältst c. Und dann findest du heraus, was b ist. Es sind also gleichwertige Ausdrücke, nur unterschiedlich dargestellt. Jetzt werde ich dir ein paar interessante Logarithmus-Eigenschaften vorstellen, die sich aus dieser Beziehung und den normalen Exponentenregeln ergeben. Der Logarithmus, mit egal welcher Basis, sagen wir also einfach mal B für Basis, wir schreiben also log_B (A) + log_B (C). Es funktioniert nur, wenn wir gleiche Basen haben. Es ist wichtig, sich das zu merken. log_B (A) + log_B (C) = log_B (A ⋅ C). Was bedeutet das und wofür können wir es verwenden? Wir machen mal ein paar Beispiele dazu. Wir nehmen log_2 (8) + log_2 (32). Was ergibt das, wenn diese Eigenschaft stimmt? Wir rechnen 8 ⋅ 32. 8 ⋅ 32 = 256. Schauen wir, ob das stimmt. Ich setze diese Zahl ein und es ist kein Beweis, aber es gibt dir ein Gefühl dafür, was hier passiert. Wir haben jetzt diese Eigenschaft angewandt, die ich dir gezeigt habe. Schauen wir, ob es stimmt. log_2 (8). Welchen Exponenten muss 2 haben, um 8 zu ergeben? 2^3 = 8. Dieser Term hier ergibt also 3, richtig? log_2 (8) = 3. Welchen Exponenten muss 2 haben, um 32 zu ergeben? 2^4 = 16. 2^5 = 32. Das hier ergibt also 5, richtig? Und welchen Exponenten muss 2 haben, um 256 zu ergeben? Wenn du Informatik studierst, weißt du das sofort, da ein Byte 256 Werte haben kann. Also 2^8. Aber wenn du das nicht weißt, kannst du es ausrechnen. Es ergibt 8. Und ich schreibe das nicht nur, weil ich wusste, dass 3 + 5 = 8 ist. Es ist unabhängig davon. Das ergibt also 8. Aber es stellt sich heraus, dass 3 + 5 = 8 ist. Entweder kommt es dir wie Magie vor oder es ist offensichtlich. Und wenn es dir etwas offensichtlich erscheint, denkst du vielleicht, dass 2^3 ⋅ 2^5 = 2^(3+5) ist, richtig? Das ist nur eine Exponentenregel. Und das ergibt 2^8. Und genau das haben wir hier gemacht. Auf dieser Seite hatten wir quasi 2^3 ⋅ 2^5. Und auf dieser Seite sind sie zusammen addiert. Anfangs ist es etwas verwirrend. Du kannst dir die Videos mit den Beweisen anschauen, wenn du gern eine bessere Erklärung davon hättest, wie das funktioniert. Aber du solltest hierdurch zumindest ein Gefühl bekommen, warum diese Eigenschaft stimmt. Wenn du zwei Exponentialausdrücke derselben Basis addierst, kannst du ihre Exponenten addieren. Wenn du den Logarithmus zweier Zahlen miteinander multiplizierst, ist es genauso, wie wenn du den Logarithmus jeder einzelnen Zahlen miteinander addierst. Es ist dieselbe Eigenschaft. Falls du mir nicht glaubst, schau dir die Videos dazu an. Ich zeige dir jetzt eine weitere Logarithmus-Eigenschaft. Sie ist der ersten sehr ähnlich. Wir haben log_B (A) - log_B (C) = log_B (A/C). Wir können wieder ein paar Zahlen ausprobieren. Ich benutze oft 2, da sich damit leicht rechnen lässt. Aber dieses Mal nehme ich log_3 (1/9) - log_3 (81). Als Ergebnis erhalte ich eine große Zahl. log_3 ((1/9) / 81). Das ist dasselbe wie 1/9 ⋅ 1/81. Ich habe zwei große Zahlen für mein Beispiel ausgewählt. 9 ⋅ 8 = 720. Das ergibt also 1/729. Wir haben also log_3 (1/729). Welchen Exponenten muss also 3 haben, um 1/9 zu ergeben? Wir wissen, dass 3^2 = 9 ist, also muss 3^(-2) = 1/9 sein. Das negative Vorzeichen kehrt es um. Das ergibt also -2. Welchen Exponenten muss 3 haben, um 81 zu ergeben? 3^3 = 27. Also 3^4. Wir könnten es auf mehrere Wege lösen. -2 - 4 = -6. Und jetzt müssen wir nur noch bestätigen, dass 3^(-6) = 1/729 ist. Das ist die Frage: Ist 3^(-6) = 1/729? Das ist dasselbe wie zu schreiben, dass 3^6 = 729 ist, denn der negative Exponent kehrt es nur um. Wir könnten es ausmultiplizieren, aber es sollte stimmen. Wir könnten hier nachschauen. Es wäre 3^3 ⋅ 3^3 = 27 ⋅ 27. Sieht gut aus. Du kannst es gerne mit einem Taschenrechner überprüfen. Das war's für dieses Video. Im nächsten Video stelle ich dir die letzten beiden Logarithmus-Eigenschaften vor. Und falls wir Zeit dazu haben, machen wir ein paar Beispiele. Bis bald.