If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 8

Lektion 3: Eigenschaften von Logarithmen
Mathematik
Algebra 2
Exponenten und Logarithmen
Eigenschaften von Logarithmen
© 2023 Khan AcademyNutzungsbedingungenDatenschutzerklärungCookie-Meldung

Rechtfertigung die Eigenschaften des Logarithmus

Google Classroom
Lerne die Beweise der Logarithmus Eigenschaften: die Produkteregel, die Quotientenregel und die Potenzenregel.
In dieser Lektion werden wir drei Eigenschaften von Logarithmus beweisen: die Produktregel, die Quotientenregel und die Potenzregel. Bevor wir beginnen, erinnern wir uns an eine nützliche Tatsache, die uns dabei helfen wird.
log, start base, b, end base, left parenthesis, b, start superscript, c, end superscript, right parenthesis, equals, c
Mit anderen Worten kehrt ein Logarithmus zur Basis b die Wirkung einer Potenz zur Basis b um!
Behalte das im Kopf, wenn du die folgenden Beweise liest.

Produkteregel: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Beginnen wir mit einem speziellen Fall der Regel - dem Fall, wenn M, equals, 4, N, equals, 8 und b, equals, 2.
Wenn wir diese Werte in log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis einsetzen, sehen wir:
log⁡2(4⋅8)=log⁡2(22⋅23)22=4 und 23=8=log⁡2(22+3)am⋅an=am+n=2+3log⁡b(bc)=c=log⁡2(4)+log⁡2(8)Weil 2=log⁡2(4) und 3=log⁡2(8)\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(2^2\cdot 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ und } 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{Weil $2=\log_2(4)$ und $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}
Also haben wir log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, dot, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.
Während dies nur einem Fall bestätigt, können wir dieser Logik folgen um die Produktregel im Allgemeinen zu folgen.
Beachte, dass das Umformen von 4 und 8 als Potenzen von 2 der Schlüssel zum Beweis war. Im Allgemeinen möchten wir M und N als Potenz von Basis b darstellen. Um dies zu tun, können wir M, equals, b, start superscript, x, end superscript und N, equals, b, start superscript, y, end superscript für einige reelle Zahlen x und y setzen.
Per definitione ist es dann auch wahr, dass log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x und log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Jetzt haben wir:
log⁡b(MN)=log⁡b(bx⋅by)Substitution=log⁡b(bx+y)Potenzregel=x+ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)+log⁡b(N)Substitution\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\cdot b^y)&&\small{\gray{\text{Substitution}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Substitution}}} \end{aligned}

Quotientenregel: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Der Beweis dieser Eigenschaft folgt einer Methode ähnlich der oben benutzten.
Also, sei M, equals, b, start superscript, x, end superscript und N, equals, b, start superscript, y, end superscript, dann folgt, dass log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x and log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Nun können wir die Quotientenregel wie folgt beweisen:
log⁡b(MN)=log⁡b(bxby)Substitution=log⁡b(bx−y)Potenzregel=x−ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)−log⁡b(N)Substitution\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{Substitution}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Substitution}}} \end{aligned}

Potenzenregel: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Diesmal ist nur M in der Eigenschaft involviert und deshalb ist es genug M, equals, b, start superscript, x, end superscript zu setzen, was es gibt, dass log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x.
Der Beweis der Potenzregel ist unten dargestellt.
log⁡b(Mp)=log⁡b((bx)p)Substitution=log⁡b(bxp)Potensregel=xplog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)⋅pSubstitution=p⋅log⁡b(M)Multiplikation ist kommutativ\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{Substitution}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{Potensregel}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\cdot p&&\small{\gray{\text{Substitution}}}\\ \\ &=p\cdot \log_b(M)&&\small{\gray{\text{Multiplikation ist kommutativ}}} \end{aligned}
Alternativ können wir diese Eigenschaft mithilfe der Produktregel rechtfertigen.
Zum Beispiel wissen wir, dass log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, dot, M, dot, point, point, point, dot, M, right parenthesis, wobei M mit sich selbst p-Mal multipliziert ist.
Wir können die Produktregel mit Hilfe der Definition der Multiplikation als mehrmals Wiederholte Addition benutzen, um den Beweis abzuschließen. Dies ist unten dargestellt.
log⁡b(Mp)=log⁡b(M⋅M⋅...⋅M)Definition von Exponenten=log⁡b(M)+log⁡b(M)+...+log⁡b(M)Produktregel=p⋅log⁡b(M)Wiederholte Addition ist Multiplikation\begin{aligned} \log_b(M^p) &=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M)&&\small{\gray{\text{Definition von Exponenten}}}\\ \\ &= \log_b(M)+\log_b(M)+...+\log_b(M)&& \small{\gray{\text{Produktregel}}}\\\\ &= p\cdot \log_b(M) &&\small{\gray{\text{Wiederholte Addition ist Multiplikation}}}\end{aligned}
Da hast du es! Wir haben nun die drei Logarithmus Eigenschaften bewiesen!

Willst du an der Diskussion teilnehmen?

Anmelden
Noch keine Beiträge.
Verstehst du Englisch? Klick hier, um weitere Diskussionen auf der englischen Khan Academy Seite zu sehen.