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Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 8

Lektion 3: Eigenschaften von Logarithmen

Rechtfertigung die Eigenschaften des Logarithmus

Lerne die Beweise der Logarithmus Eigenschaften: die Produkteregel, die Quotientenregel und die Potenzenregel.

In dieser Lektion werden wir drei Eigenschaften von Logarithmus beweisen: die Produktregel, die Quotientenregel und die Potenzregel. Bevor wir beginnen, erinnern wir uns an eine nützliche Tatsache, die uns dabei helfen wird.

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

Mit anderen Worten kehrt ein Logarithmus zur Basis

b

die Wirkung einer Potenz zur Basis

b

um!

Behalte das im Kopf, wenn du die folgenden Beweise liest.

Produkteregel: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Beginnen wir mit einem speziellen Fall der Regel - dem Fall, wenn

M = 4

N = 8

und

b = 2

Wenn wir diese Werte in

\log_{b} (M N)

einsetzen, sehen wir:

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{3}) & 2^{2} = 4 und 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Weil 2 = \log_{2} (4) und 3 = \log_{2} (8) \end{aligned}$ ‍

Also haben wir

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Während dies nur einem Fall bestätigt, können wir dieser Logik folgen um die Produktregel im Allgemeinen zu folgen.

Beachte, dass das Umformen von

4

und

8

als Potenzen von

2

der Schlüssel zum Beweis war. Im Allgemeinen möchten wir

M

und

N

als Potenz von Basis

b

darstellen. Um dies zu tun, können wir

M = b^{x}

und

N = b^{y}

für einige reelle Zahlen

x

und

y

setzen.

Per definitione ist es dann auch wahr, dass

\log_{b} (M) = x

und

\log_{b} (N) = y

Jetzt haben wir:

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \cdot b^{y}) & Substitution \\ = \log_{b} (b^{x + y}) & Potenzregel \\ = x + y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & Substitution \end{aligned}$ ‍

Quotientenregel: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Der Beweis dieser Eigenschaft folgt einer Methode ähnlich der oben benutzten.

Also, sei

M = b^{x}

und

N = b^{y}

, dann folgt, dass

\log_{b} (M) = x

and

\log_{b} (N) = y

Nun können wir die Quotientenregel wie folgt beweisen:

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) & Substitution \\ = \log_{b} (b^{x - y}) & Potenzregel \\ = x - y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & Substitution \end{aligned}$ ‍

Potenzenregel: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Diesmal ist nur

M

in der Eigenschaft involviert und deshalb ist es genug

M = b^{x}

zu setzen, was es gibt, dass

\log_{b} (M) = x

Der Beweis der Potenzregel ist unten dargestellt.

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) & Substitution \\ = \log_{b} (b^{x p}) & Potensregel \\ = x p & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) \cdot p & Substitution \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Multiplikation ist kommutativ \end{aligned}$ ‍

Alternativ können wir diese Eigenschaft mithilfe der Produktregel rechtfertigen.

Zum Beispiel wissen wir, dass

\log_{b} (M^{p}) = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M)

, wobei

M

mit sich selbst

p

-Mal multipliziert ist.

Wir können die Produktregel mit Hilfe der Definition der Multiplikation als mehrmals Wiederholte Addition benutzen, um den Beweis abzuschließen. Dies ist unten dargestellt.

\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M) & Definition von Exponenten \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (M) + … + \log_{b} (M) & Produktregel \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Wiederholte Addition ist Multiplikation \end{aligned}

Da hast du es! Wir haben nun die drei Logarithmus Eigenschaften bewiesen!

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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 8

Produkteregel: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Quotientenregel: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Potenzenregel: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

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Produkteregel: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Quotientenregel: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Potenzenregel: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍