Nachweis der Logarithmusproduktregel

Hallo. Beschäftgigen wir uns mit ein paar Eigenschaften des Logarithmus. Erinnern wir uns also kurz, was ein Logarithmus eigentlich darstellt. Wenn ich also schreibe 'Logarithmus von a zur Basis x' ... ... gleich, sagen wir 'N'. Was bedeutet das ? Nun, das bedeutet einfach, daß x hoch N gleich a. Ich denke mal, das wissen wir bereits. Wir haben das im Video über den Logarithmus gelernt. Es ist also ganz wichtig, sich klarzumachen, daß man ... ... bei der Berechnung eines Logarithmusterms wie 'Logarithmus a zur Basis x' ... ... als Ergebnis einen Exponenten erhält. Dieses 'N' ist tatsächlich nichts anderes als ein Exponent. Das ist genau das gleiche wie dieses Ding hier. Man hätte das auch genausogut so schreiben können. Man hätte das tun können, weil dieses 'N' gleich diesem ist, man hätte ... ... einfach - das sieht jetzt etwas wild aus - schreiben können 'x hoch Logarithmus ... ... A zur Basis x' gleich A. Ich habe nur dieses N durch diesen Term ersetzt. Und das habe ich so geschrieben, weil ich möchte, daß du ... ... ein intuitives Verständnis dafür entwickelst, daß ein Logarithmus, wenn du ihn berechnest, ... ... effektiv ein Exponent ist. Und dieses Wissen nutzen wir jetzt. Daher rühren letztlich alle ... ... Eigenschaften des Logarithmus. Laß uns also - was ich eigentlich möchte, ich möchte über die Eigenschaften des Logarithmus stolpern indem ich ein bißchen herumspiele. Und später fassen wir alles zusammen und bringen Ordnung rein. Aber zunächst möchte ich zeigen, wie Leute urspünglich ... ... auf diesen ganzen Kram gekommen sind. Sagen wir also, daß x - ich wechsle mal die Farben ... ... so bleibt's interessant -, sagen wir also, x hoch l gleich A. Ok, wenn wir das als Logarithmus schreiben, also die ... ... gleiche Beziehung als Logarithmus, dann könnten wir schreiben 'Logarithmus von A zur Basis x ... ... gleich l', richtig ? Ich habe nur das umformuliert, was ich in schon der ersten Zeile geschrieben habe. Und weiter mit einer neuen Farbe Wenn ich jetzt sagen würde 'x hoch m gleich b', dann ist das ... ... genau dasselbe, nur mit anderen Variablen. Das heißt aber auch, der Logarithmus von b zur Basis x ... ... ist gleich m, richtig ? I hab genau das gleiche wie in dieser Zeile gemacht. Ich habe nur Bezeichner getauscht. Machen wir mal wieter und schauen wir, was passiert. Erstmal noch eine andere Farbe ... die gehen mir nicht aus ... ... also, sagen wir ich habe x hoch N und du sagt, Sal, ... ... worauf willst du hinaus ? Aber das siehst du gleich. Das ist ganz hübsch, x hoch n gleich A mal B x hoch n gleich A mal B. Und das ist nichts anderes, als zu sagen n [fehlt im Video, Anm. Übers.] gleich Logarithmus von A mal B zur Basis x . Was können wir mit all dem anfangen? Ok, beginnen wir mit dem hier. x hoch n gleich A mal B. Wie könnten wir das anders schreiben ? Nun ja, A ist das ... ... und B das, richtig ? Formen wir das also um. Wir wissen, daß x hoch N gleich A. A ist das hier. x hoch l x hoch l Und was ist B ? mal B Naja, B gleich x hoch m, stimmt's? Das ist jetzt kein Hexenwerk. Was ist aber x hoch l mal x hoch m ? Naja, wir wissen etwas über Exponenten, wenn wir ... ... zwei Terme miteinander multiplizieren, die die gleiche Basis und verschiedene ... ... Exponenten haben, addieren wir die Exponenten einfach. Also ist das gleich - ich nehme mal eine neutrale Farbe Ich weiß nicht, ob ich das fehlerfrei ausgedrückt habe, aber ... ... die Idee ist klar. Wenn du die gleiche Basis hast und du multiplizierst, dann addierst du einfach die Exponenten. Das ist dann gleich - ich mache das in unterschiedlichen Farben, denn ich glaube, das ist hilfreich - ... ... l, l plus m. Dauernd die Farben zu wechseln ist ein bißchen umständlich, aber ... ... du siehst, worauf ich hinauswill. Also, x hoch n gleich x hoch l plus m. Ich schreibe hier mal 'x'. Das sollte eigentlich grün werden. x hoch l + n Also, was wissen wir ? Wir wissen, daß x hoch n gleich x hoch l + m. Richtig ? Ok, wir haben die gleiche Basis Diese Exponenten müssen also gleich sein. Somit wissen wir also, n gleich l + m. Was hilft uns das ? Ich nab nur ein bißchen mit Logarithmen herumgespielt. Bringt mir das irgendetwas ? Ich denke mal, du erkennst gleich, daß dem so ist. Wie können wir n anders schreiben ? Wir sagten x hoch n gleich A mal B - oh, hier ... ... hab ich eigentlich einen Schritt ausgelassen. Das bedeutet - hierher zurück, x hoch n ... ... gleich A mal B. Also ist der Logarithmus von A mal B zur Basis x gleich n. Das wußtest du schon. Ich nicht. Ich hoffe du erkennst, daß ich hier keine Fehler korrigiere oder so was in der Art. Ich habe einfach nur vergessen, das vorhin hinzuschreiben. Egal, also was ist n ? Wier kann man n anders schreiben ? Naja, also EINE andere Art, n zu schreiben, steht hier. Logarithmus von A mal B zur Basis x. Also, jetzt wissen wir, daß wir einfach n dafür schreiben können, wir ... ... erhalten Logarithmus von A mal B zur Basis x Und das ist gleich was ? Das ist eben gleich l. l kann man auch so schreiben wie hier oben. Das ist gleich Logarithmus von A zur Basis x plus m. Und was ist m ? m steht hier. Also Logarithmus von B zur Basis x. Und hier haben wir unsere erste Eigenschaft des Logarithmus: Logarithmus von A mal B zur Basis x - das ist gleich ... Logarithmus von A zur Basis x mal Logarithmus B zur Basis x. Und das hier überzeugt dich hoffentlich, daß es stimmt. Und die Intuition dahinter, warum das funktioniert, ... ... liegt daran, daß Logarithmen nichts anderes sind als Exponenten. So, das war's für dieses Video. Und im nächsten Video zeige ich eine andere ... ... Eigenschaft des Logarithmus Bis demnächst!