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Anzahl der Lösungen eines Gleichungssystems: Obstpreise (1 von 2)

Video-Transkript
Der Berater des Königs, Arbegla, beobachtet die Diskussion zwischen Dir, dem König und dem Vogel. Er wird eifersüchtig. Eigentlich sollte er der weise Mensch im Königreich sein. Er tritt näher und sagt: "Wenn ihr beide, Du und Dein Vogel so klug seid, dann könnt Ihr auch das Rätsel der Obst-Preise lösen?" Und der König sagte: "Ja, das ist etwas, das wir noch nicht herausgefunden haben". "Die Obst-Preise. Arbegla, erzähl das Rätsel der Obst-Preise". Und Arbegla sagte:"Nun, wir wollten festhalten, wieviel das Obst kostet, aber wir vergaßen" "festzuhalten wie viel es kostete als wir beim Markt waren. Aber: Wir wissen, wieivel wir insgesamt ausgegeben haben!" "Und wir wissen, wieviel wir bekommen haben. Wir wissen, dass vor einer Woche" "als wir auf dem Obstmarkt waren, folgendes gekauft haben" "2 Pfund Äpfel und 1 Pfund Bananen"." "Und das hat insgesamt soviel gekostet:" "3 Dollar hat es insgesamt gekostet". " Als wir davor das mal auf dem Obstmarkt gewesen waren" "da haben wir 6 Pfund Äpfel" "und 3 Pfund Bananen gekauft". "Und das hat insgesamt soviel gekostet: "15 Dollar hat es insgesamt gekostet". Was kosten also die Äpfel und die Bananen? Also schaust Du den Vogel an. Und der Vogel schaut Dich an. Der Vogel flüstert in das Ohr des Königs und der König sagt: "Der Vogel sagt, dass wir nur anfangen müssen, ein paar Variablen zu definieren, um das ganze algebraisch auszudrücken" Also machst Du Dich daran. Was wir herausfinden wollen, sind die Kosten von Äpfel und die Kosten von Bananen. Die Kosten pro Pfund suchen wir. Also setzen wir Variablen: Lass a = Kosten von Äpfeln pro Pfund sein. Und lass b = Kosten von Bananen pro Pfund sein. Wie können wir die Information hier interpretieren? Zwei Pfund Äpfel und ein Pfund Bananen kosten 3 Dollar. Wie teuer sind also die Äpfel? Die Äpfel kosten 2 Pfund mal dem Preis pro Pfund. Der Preis pro Pfund ist a. Die Kosten für Äpfel sind als 2 mal den Preis pro Pfund. Und was kosten die Bananen? Diese kosten 1 mal den Preis pro Pfund. Also einfach nur b. Das sind die Kosten der Bananen. Wir wissen, dass wir einmal die Gesamtkosten von Äpfel und Bananen also 2a + b von insgesamt 3 Dollar bezahlt haben. Nun lass uns das für die andere Zeit, als wir beim Markt waren, genauso machen. 6 Pfund Äpfel: die Gesamtkosten sind 6 mal den Preis a pro Pfund. Für Bananen sind die Gesamtkosten 3 mal den Preis b pro Pfund. Wir hatten 3 Pfund Bananen gekauft. Und die Kosten pro Pfund sind b. Die Gesamtkosten der Äpfel und Bananen sind in diesem Szenario 15. Es sind 15 Dollar. Nun lass uns darüber nachdenken, wie wir dies lösen können. Wir könnten Elimination nutzen, oder Substitution. Was auch immer wir machen, wir könnten es graphisch darstellen. Lass es uns zuerst mit Elimination versuchen. Das erste, was ich versuche, ist, diese Variable a hier zu eliminieren. Damit habe ich 2 a auf dieser Seite und ich habe 6 a hier. Wenn ich also die ganze Gleichung mit -3 multiplizieren, dann wird aus 2a nun -6a und ich bin in der Lage, diese zu eliminieren. Lass mich dies machen. Lass mich die ganze Gleichung multiplizieren mit -3 und ich erhalte -3 mal 2a ergibt -6a -3 mal b ergibt -3b. und -3 mal 3 ergibt -9. Das ist minus 9. Und können wir diese zwei Gleichungen addieren, beziehungsweise die linke Seite zur linken Seite addieren und die rechte Seite zur rechten Seite addieren. Wir addieren also dasselbe auf beiden Seiten der Gleichung, weil wir wissen, das dies gleich dem ist. So lass uns dies machen. Also: Auf der linken Seite haben wir 6a und 6a, die sich gegenseitig eliminieren. Aber noch etwas interessantes passiert: 3b und 3b eliminieren sich auch. Es bleibt also 0 auf der linken Siete. Und was haben wir auf der rechten Seite? 15-9=6. Wir bekommen also einen sehr bizarren Ausdruck! All Variablen sind weg. Und es bleibt eine bizarre unvernünftige Aussage übrig: 0=6. Das ist definitiv falsch. Also, was passiert hier? Du sagst also: Was geht hier vor? Und Du schaust den Vogel an, denn der Vogel scheint die am meisten wissende Person in diesem Raum zu sein beziehungsweise das am meisten wissende Wirbeltier in diesem Raum. Der Vogel flüstert in das Ohr des Königs. Und der König sagt: "Der Vogel sagt, dass es keine Lösung gibt! Du solltest aber zumindest versuchen, es aufzumalen, um zu sehen, warum das so ist. Und Du sagts: "Ok, der Vogel scheint zu wissen, worüber er spricht". Lass mich versuchen, diese zwei Gleichungen zu zeichnen. Dann sehen wir, was hier vor sich geht. Was Du also machst, ist, beide Gleichungen zu nehmen und wenn Du sie zeichnest, nimmst Du am besten eine Art y-Achsenabschnitt oder Kurvenabschnitt. Lass mich zuerst nach b auflösen, dann siehst Du, was ich meine. Wir lösen dann b auf, indem wir 2a von beiden Seiten subtrahieren. Wenn Du 2a von beiden Seiten der ersten Gleichung subtrahierst, erhältst Du b=-2a+3 Nun lösen wir die zweite Gleichung nach b. Das erste, was Du machst, ist, 6a von beiden Seiten zu subtrahieren. Ich mache das mal hier vor. Du erhältst 3b=-6a plus 15. Du kannst nun beide Seiten durch 3 dividieren. Und Du erhältst b=-2a plus 5. Die zweite Gleichung ist also - ich nutze dieses andere grün - b=-2a+5. Wir haben das noch nicht gezeichnet. Aber es sieht schon ganz interessant aus. Beide haben die gleiche Neigung. Wenn Du nach Termen löst, wenn Du nach b löst, dann siehst Du, dass sie die b-Achse an unteschiedlichen Stellen schneiden. Lass es uns nun zeichnen, damit Du siehst, was hier passiert. Ich zeichne also Achsen ein. Lass uns diese als b-Achse nehmen. Dann ist dies die a-Achse. Die erste Gleichung hat schneidet die b-Achse bei plus 3. Hier bei plus 3. Und es hat eine negative Steigung von 2. Also fällt die Kurve um 2 wenn Du einen Schritt nach rechts gehst. Ein Schritt nach rechts, zwei nach unten. Also sieht die Kurve etwa so aus. Ich bemühe mich, dies ganz gerade einzuzeichnen. Es sieht etwas so aus. Das zeichne ich grün. Bei dieser grünen Kurve schneiden wir die b-Achse bei 5. Das ist genau hier. Und wir haben die gleiche Neigung. Eine negative Steigung von 2. Damit sieht das ungefähr so aus. Und Du siehst sofort, dass der Vogel recht hatte. Es gibt keine Lösung, weil diese beiden Bedingungen durch Linien gezeichnet werden können, die sich nicht schneiden. Die beiden Linien schneiden sich nicht. Sie schneiden sich nicht, der Vogel hat Recht. Es gibt keine Lösung. Es gibt kein x oder y, das beide Aussagen gleichermassen richtig macht. Es gibt nichts, was die Aussage 0=6 richtig macht. Und eine Idee keimt in Dir auf. Du realisierst, dass Arbegla versucht, Dich reinzulegen. Und Du sagst: "Arbegla, Du hast mir inkonsistente Informationen gegeben". Das ist ein inkonsistentes System von Gleichungen. In-kon-sistent! Das ist das Wort, das wir machmal nutzen, um ein System zu beschreiben das keine Lösung hat, wo sich die Linien nicht schneiden. Daher ist diese Information nicht korrekt. Entweder lügst Du, was möglich ist, oder, Du hast es falsch ausgedrückt. Oder aber, die Preise von Äpfel und Bananen haben sich geändert zwischen den zwei Besuchen auf dem Markt. An dieser Stelle flüstert der Vogel in das Ohr des Königs und es sagt: Oh, dieser Mensch ist gar nicht so schlecht in Algebra.