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Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 9

Lektion 5: Anzahl der Lösungen von Gleichungssystemen
Mathematik
Algebra 1
Gleichungssysteme
Anzahl der Lösungen von Gleichungssystemen
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Anzahl der Lösungen von Gleichungssystemen - Wiederholung

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Ein lineares Gleichungssystem hat normalerweise ein einzige Lösung, aber manchmal kann es keine Lösung haben (parallele Geraden) oder unendlich viele Lösungen haben (übereinanderliegende Geraden = gleiche Gerade). Dieser Artikel wiederholt alle drei Fälle.
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind beide mit Ein-Halb skaliert. Der Graph einer Geraden geht durch die Punkte minus Ein-Einhalb, Drei und Drei, Zwei. Der Graph einer anderen Geraden geht durch die Punkte Null, Null und Eins, Eins. Diese beiden Geraden schneiden sich bei einem x-Wert zwischen Zwei und Drei und einem y-Wert zwischen Zwei und Drei.
Eine Lösung. Ein lineares Gleichungssystem hat eine Lösung, wenn die Graphen sich in einem Punkt schneiden.
Ein Koordinatensystem. Die x- und die y-Achse sind jeweils mit Einhalb skaliert. Der Graph einer Geraden geht durch die Punkte Eins, Ein-Einhalb und Drei, Eins. Der Graph einer anderen Geraden geht durch die Punkte Eins, Zweieinhalb und Drei, Zwei. Diese beiden Geraden schneiden sich nie.
Keine Lösung. Ein lineares Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die Graphen parallel sind.
Ein Koordinatensystem. Die x- und die y-Achse sind jeweils mit Einhalb skaliert. Der Graph einer Geraden geht durch die Punkte Null, Ein-Einhalb und Drei, Zwei. Der Graph einer anderen Geraden geht durch die Punkte Null, Eineinhalb und Drei, Zwei. Diese beiden Geraden schneiden sich nie.
Unendlich viele Lösungen. Ein lineares Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn die Graphen genau die gleiche Gerade bilden.
Willst du mehr über die Anzahl der Lösungen von Gleichungssystemen lernen? Schau dir dieses Video an.

Beispielsystem mit einer Lösung

Wir sollen die Anzahl der Lösungen dieses Gleichungssystem bestimmen:
y=−6x+83x+y=−4
Wir formen sie in die Normalform einer Geradengleichung um:
y=−6x+8y=−3x−4
Da die Steigungen unterschiedlich sind, müssen die Geraden sich schneiden. Hier sind die Graphen:
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achse sind jeweils mit Einhalb skaliert. Die Gleichung y gleich minus sechs x plus Acht ist durch die Punkte Null, Acht und Eins, Zwei gezeichnet. Die Gleichung drei x plus y gleich minus Vier ist durch die Punkte Null, minus Vier und Eins, minus Sieben gezeichnet. Diese Geraden schneiden sich bei einem Wert, der unterhalb des Diagramms liegt.
Weil die Geraden sich in einem Punkt schneiden, gibt es eine Lösung des Gleichungssystem, das die Geraden darstellen.

Beispielsystem mit keiner Lösung

Wir sollen die Anzahl der Lösungen dieses Gleichungssystem bestimmen:
y=−3x+9y=−3x−7
Ohne die Gleichungen grafische darzustellen, können wir beobachten, dass beide die gleiche Steigung von −3 haben. Diese bedeutet, dass die Geraden parallel sein müssen. Und da die y-Achsenabschnitte unterschiedlich sind, wissen wir, dass die Geraden nicht aufeinanderliegen.
Es gibt keine Lösung dieses Gleichungssystem.

Beispielsystem mit unendlich vielen Lösungen

Wir sollen die Anzahl der Lösungen dieses Gleichungssystem bestimmen:
−6x+4y=23x−2y=−1
Interessanterweise erhalten wir, wenn wir die zweite Gleichung mit −2 multiplizieren, die erste Gleichung:
3x−2y=−1−2(3x−2y)=−2(−1)−6x+4y=2
Mit anderen Worten, die Gleichungen sind äquivalent und haben den gleichen Graph. Jede Lösung funktioniert auf bei der anderen Gleichung, daher gibt es unendlich viele Lösungen.

Übung

Aufgabe 1
Wie viele Lösungen hat das lineare Gleichungssystem?
y=−2x+47y=−14x+28
Wähle eine Lösung.

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