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Lösungen von Gleichungssystemen: abhängig vs. unabhängig

Video-Transkript
"Ist das lineare Gleichungssystem unten "Ist das lineare Gleichungssystem unten abhängig oder unabhängig?" Zwei Gleichungen sind hier gegeben. Und bevor ich diese Aufgabe löse, wiederholen wir kurz, was abhängig oder unabhängig bedeutet. Und ich werde das noch mit konsistent und inkonsistent vergleichen. Wenn wir uns mit linearen Gleichungssystemen in einer Ebene beschäftigen, dann gibt es nur drei Möglichkeiten, wie sich die Geraden oder Gleichungen auf einander beziehen können. Ich möchte diese drei Möglichkeiten grafisch darstellen. Ich werde drei Koordinatensysteme zeichnen. Das ist meine erste x-Achse und y-Achse. Ich zeichne noch eines. Das ist x und das ist y. Ich zeichne noch eines, weil es nur drei Möglichkeiten gibt in 2 Dimensionen, x und y, wenn wir mit linearen Gleichungen zu tun haben. Es gibt den Fall, wo sich die Geraden in einem Punkt schneiden. wo sich die Geraden in einem Punkt schneiden. Eine Gerade könnte so verlaufen, und die andere Gerade liegt vielleicht so, und sie schneiden sich in einem Punkt. Es könnte sein, dass die beiden Geraden parallel verlaufen. Zeichnen wir das hier herüben, eine Gerade verläuft so, und die andere hat die gleiche Steigung, aber sie ist verschoben. Sie hat einen anderen y-Achsenabschnitt, etwa so, und du hast keine Schnittpunkte. Und dann könntest du die Situation haben, wo sie in Wirklichkeit die gleiche Gerade sind, beide Geraden haben die gleiche Steigung und den gleichen y-Achsenabschnitt. Sie sind die gleiche Gerade. Sie schneiden sich an einer unendlichen Zahl von Punkten. Jeder Punkt auf der einen Geraden ist auch ein Punkt auf der anderen Geraden. Ich sage dir jetzt etwas zur Terminologie dazu, wir haben es im letzten Video gehört, diese Art System, wo sie sich nicht schneiden, wo es keine Lösungen gibt, das ist ein inkonsistentes System. das ist ein inkonsistentes System. Gemäß dieser Definition, oder weil man einfach das Gegenteil von inkonsistent genommen hat, betrachtet man die anderen beiden als konstistent. betrachtet man die anderen beiden als konstistent. Aber innerhalb von konsistent gibt es offensichtlich einen Unterschied. Hier haben wir nur eine Lösung. Zwei unterschiedliche Geraden schneiden sich in einem Punkt. Und hier sind sie im Grunde die genau gleiche Gerade. Wir unterscheiden also zwischen den beiden Fällen und nennen diesen hier unabhängig und den hier abhängig. und den hier abhängig. Unabhängig - beide Geraden machen ihr eigenes Ding. Sie sind nicht von einander abhängig. Sie sind nicht die gleiche Gerade. Sie schneiden sich in einem Punkt. Abhängig - sie sind genau die gleiche Gerade. Jeder Punkt, der die eine Gerade erfüllt, erfüllt auch die andere. Jeder Punkt, der die eine Gleichung erfüllt, erfüllt auch die andere. Jeder Punkt, der die eine Gleichung erfüllt, erfüllt auch die andere. Nach dieser Definition schauen wir nun, ob dieses lineare Gleichungssystem hier abhängig oder unabhängig ist. Man könnte annehmen, dass es konsistent ist, Man könnte annehmen, dass es konsistent ist, dass sich die Geraden in einem Punkt schneiden oder dass sie sich in unendlich vielen Punkten schneiden. Wir haben diese zweite Gleichung schon in Normalform. Wir haben diese zweite Gleichung schon in Normalform. Wir haben diese zweite Gleichung schon in Normalform. Die Steigung ist -2, der y-Achsenabschnitt ist 8. Bringen wird diese erste Gleichung hier oben in die Normalform, um zu sehen, ob sie eine abweichende Steigung oder einen anderen Achsenabschnitt hat. Vielleicht ist es die gleiche Gerade. 4x plus 2y ist gleich 16 Wir subtrahieren 4x von beiden Seiten. Wir wollen das y auf der linken Seite isolieren. Subtrahieren wir also 4x von beiden Seiten. Auf der linken Seite bleiben uns 2y. Und auf der rechten Seite haben wir -4x plus 16. Ich schreibe die -4 vor den 16, damit wir sie in der üblichen Normalform haben. damit wir sie in der üblichen Normalform haben. Und jetzt dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 2, damit wir y auf der linken Seite isolieren. Dividieren durch 2. Uns bleibt y gleich -4 durch 2 y gleich -2x plus 8 Ich habe hier die obere Gleichung nur algebraisch umgeformt. Ich habe hier die obere Gleichung nur algebraisch umgeformt. Ich habe sie nach y aufgelöst, und das hier bekommen, was genau der zweiten Gleichung entspricht. Wir haben also die genau gleiche Steigung von -2, und wir haben den gleichen y-Achsenabschnitt von 8. Wenn wir diese Gleichungen zeichnen, das ist meine x-Achse und das ist meine y-Achse, haben beide einen y-Achsenabschnitt von 8 und eine Steigung von -2. Also sehen sie etwa so aus. Also sehen sie etwa so aus. Also sehen sie etwa - ich zeichne eine Annäherung davon - so aus. Das ist in etwa der Graph dieser ersten Gleichung hier. Das ist in etwa der Graph dieser ersten Gleichung hier. Und die zweite Gleichung ist der genau gleiche Graph. Sie hat den gleichen y-Achenabschnitt und die genau gleiche Steigung. Diese zwei Geraden sind also ganz klar abhängig. Diese zwei Geraden sind also ganz klar abhängig. Sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte, weil sie die gleiche Gerade sind. weil sie die gleiche Gerade sind.