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Anzahl der Lösungen eines Gleichungssystems: Obstpreise (2 von 2)

Video-Transkript
Arbegla ist wütend und schämt sich weil du und der Vogel ihn vorgeführt habt vor dem König also stürmt er aus dem Zimmer. Und einige Sekunden stürmt er wieder zurück. Er sagt: Mein Fehler. Ich entschuldige mich. Ich habe erkannt was der Fehler war. Da war ein kleiner Schreibfehler. In der ersten Woche, als sie zum Markt gegangen waren und zwei Kilo Äpfel und ein Kilo Bananen gekauft habe hat es nicht 3€ gekostet. Es hat 5€ gekostet. Da du und der Vogel ja so klug seid könnt ihr sicher ausrechnen wie viel ein Kilo Apfel und wie viel ein Kilo Bananen kostet. Du denkst darüber nach, kann man das ausrechnen? Wir lösen das Problem mit den genau gleichen Variablen. Wenn a der Preis für ein Kilo Apfel ist und b der Preis für die Bananen, so sagt uns die erste Bedingung, dass zwei Kilo Äpfel 2a kosten, da es a Euro pro Kilo kostet. Und ein Kilo Bananen kostet b Euro, da ein Kilo mal b Euro pro Kilo kostet nun 5€. Und wir wissen vom letzten Szenario, diese Information hat sich nicht verändert. Sechs Kilo Äpfel kosten 6a, sechs Kilo mal a Euro pro Kilo. Und drei Kilo Bananen kosten 3b, drei Kilo mal b Euro pro Kilo. Die totalen Kosten für die Äpfel und Bananen belaufen sich für diesen Kauf auf 15€. Ich versuche das mit Eliminierung zu lösen. Zunächst will ich die a's eliminieren. Ich habe 2a hier. Ich habe 6a hier. Wenn ich 2a mit -3 multiplizieren, so erhalte ich -6a. So hebt sich das ganze auf. Du multiplizierst die ganze Gleichung. Du kannst nicht nur einen Term multiplizieren. Du musst die ganze Gleichung mit -3 multiplizieren wenn die Gleichung noch gelten soll. Und wie multiplizieren mit -3, 2a mal -3 ist -6a. b mal -3 ist -3b. Und dann 5 mal -3 ist -15. Nun sieht etwas ein wenig faul aus. Nun sieht etwas ein wenig faul aus. Wenn du nämlich die linke Seite dieser blauen Gleichung zu grünen addierst erhälst du 0. Das alles hebt sich auf. Und auf der rechten Seite, 15 minus 15, das ist 0. Und man erhält 0 gleich 0, was ein wenig besser ist als das letzte Mal. Letztes erhielten wir 0 gleich 6. Aber 0 gleich 0 liefert uns keine Informationen über x und y. Das ist wahr. Es ist absolut richtig, dass 0 gleich 0 ist, aber sagt uns nichts über x und y. Und dann flüstert der Vogel in das Ohr des Königs und der König sagt: Der Vogel sagt, dass du das aufzeichnen sollst um herauszufinden was los ist. Also versuchst du nun die zwei Bedingungen zu zeichnen. Wir haben eine b Achse. Das ist die b Achse. Und wir haben eine a Achse. Wenn wir in der ersten Gleichung 2a von beiden Seiten abziehen, ich setze das nur in die Steigung Achsenabschnitt Form, so erhält man b gleich -2a plus 5. Ich habe nur 2a von beiden Seiten abgezogen. Würden wir das zeichnen, unser b-Achsenabschnitt wenn a gleich 0 ist, ist 5. Das ist hier. Und unsere Steigung ist -2. Jedes Mal wenn du 1 zu a addierst -- wenn a von 0 zu 1 geht -- so geht b um 2 runter. Die erste weisse Gleichung sieht so aus wenn wir ihre Lösungen aufzeichnen. Das sind alles die Preise von Bananen und Äpfeln die diese Bedingung erfüllen. Nun zeichnen wir die zweite Gleichung. Wenn wir 6a von beiden Seiten abziehen, so erhalten wir 3b gleich -6a plus 15. Nun können wir beide Seiten durch 3 teilen. Nun bleibt uns b gleich -2a plus 5 übrig. Das ist interessant. Das sieht genau gleich aus. Unser b-Achsenabschnitt ist 5 und unsere Steigung ist -2a. Das ist also die gleiche Linie. Das sind also die gleiche Bedingung. Du bist ein bisschen verwirrt und sagst: OK, ich weiss wieso wir 0 gleich 0 bekommen. Es gibt unendlich viele Lösungen. Egal was du für x und dadurch y wählst, jeder dieser ist eine Lösung. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Aber du wunderst dich, wieso das passiert ist. Der Vogel flüstert wieder etwas in das Ohr des Königs und der König sagt: Der Vogel hat gesagt, dass es daran liegt, dass jedes Mal das gleiche Verhältnis an Äpfel und Bananen gekauft wurde. Wenn man den grünen mit dem weissen Einkauf vegleicht, so wurde drei Mal so viel Äpfel gekauft, drei Mal so viel Bananen gekauft und es hat drei Mal mehr gekostet. Egal in welcher Situation mit Kilopreisen für Apfel und Bananen, wenn du genau drei mal so viel Äpfel kaufst, drei Mal so viel Bananen und die Kosten drei Mal grösser sind, so kann das für jeden Preis stimmen. Und das ist konsistent. Wir können nicht sagen, dass Arbegla uns anlügt, aber es gibt uns nicht genug Informationen. Das nennt man ein konsistentes System. Das sind konsistente Informationen. Das ist konsistent. Daran gibt es keine Zweifel. Aber es hat nicht genug Informationen. Dieses Gleichungssystem ist abhängig. Und du hast unendlich viele Lösungen. Jeder Punkt auf dieser Linie ist eine Lösung. Also sagst du zu Arbegla: Wenn du wirklich willst, dass wir das ausrechnen, so musst du uns mehr Informationen geben. Und kaufe am besten eine anderes Verhältnis an Äpfel und Bananen.