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Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 15

Lektion 2: Monome faktorisieren

Größter gemeinsamer Teiler von Monomen

Lerne wie du den ggT (größten gemeinsamen Teiler) von zwei Monomen oder mehr ermittelst.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein Monom ist ein Term, der ein Produkt einer Konstanten und einer nichtnegativen, ganzzahligen Potenz von

x

darstellt, wie

3 x^{2}

. Ein Polynom ist eine Summe von Monomen.

Du kannst die vollständige Faktorisierung eines Monoms schreiben, indem du die Primfaktorzerlegung des Koeffizienten schreibst, multipliziert mit dem variablen Teil. Schau dir unseren Monome faktorisieren Artikel an, wenn das neu ist für dich.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion, wirst du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) kennenlernen und wie du diesen für Monome herausfindest.

Wiederholung: größter gemeinsame Teiler bei ganzen Zahlen

Der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist die größte ganze Zahl , die ein Teiler von beiden Zahlen ist. Zum Beispiel ist das ggT von

12

und

18

die

6

Wir können den ggT für zwei Zahlen herausfinden, indem wir sie in Primfaktoren zerlegen:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ ‍

Beachte, dass

12

und

18

haben den Teiler

2

und den Teiler

3

gemeinsam haben, und daher ist der größte gemeinsame Teiler von

12

und

18

gleich

2 \cdot 3 = 6

Größter gemeinsamer Teiler bei Monomen

Der Prozess ist ähnlich, wenn du den größten gemeinsamen Teiler von zwei oder mehr Monomen ermitteln sollst.

Schreibe einfach die vollständige Faktorisierung von jedem Monom und ermittle die gemeinsamen Teiler. Das Produkt von allen gemeinsamen Teilern ist das ggT.

Zum Beispiel finden wir den größten gemeinsamen Faktor von

10 x^{3}

und

4 x

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$ ‍

Beachte, dass

10 x^{3}

und

4 x

einen Teiler

2

und einen Teiler

x

gemeinsam haben, und daher ist der größte gemeinsame Teiler

2 \cdot x

oder

2 x

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Was ist der größte gemeinsame Teiler von $9 x^{2}$ ‍ und $6 x$ ‍?

2) Was ist der größte gemeinsame Teiler von $12 x^{5}$ ‍ und $8 x^{3}$ ‍?

3) Was ist der größte gemeinsame Teiler von $5 x^{7}$ ‍, $30 x^{4}$ ‍ und $10 x^{3}$ ‍?

Wir wollen jedes Monom vollständig faktorisieren. Dann können wir die Teiler finden, die alle drei Monome gemeinsam haben und sie multiplizieren um den ggT zu finden.

$5 x^{7} = 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$30 x^{4} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

Beachte, dass jedes Monom einen Teiler von

5

und drei Teiler von

x

hat. Daher ist der größte gemeinsame Teiler der Monome

5 \cdot x \cdot x \cdot x

oder

5 x^{3}

Ein Hinweis auf den variablen Teil des größten gemeinsamen Vielfachen

Im allgemeinen ist der variable Teil des ggT bei zwei oder mehr Monome gleich der Variable mit der kleinsten Potenz von

x

Betrachte z. B. die Monome

6 x^{5}

und

4 x^{2}

Da die kleinste Potenz von $x$ ‍ gleich $x^{2}$ ‍ ist, ist das der variable Teil des ggT.
Du könntest dann den ggT von $6$ ‍ und $4$ ‍ ermitteln, welcher $2$ ‍ ist, und diesen mit $x^{2}$ ‍ multiplizieren um $2 x^{2}$ ‍ zu erhalten, den ggT der Monome!

\begin{aligned} Der ggT von 6 und 4 ist 2 & Die kleinste Potenz von x^{5} und x^{2} ist x^{2} \\ ↘ & ↙ \\ ggT (6 x^{5}, 4 x^{2}) = 2 & x^{2} \end{aligned}

Dies ist besonders hilfreich zu verstehen, wenn der ggT von Monomen mit sehr großen Potenzen von

x

ermittelt werden soll. Zum Beispiel würde es sehr mühsam sein Monome wie

32 x^{100}

und

16 x^{88}

vollständig zu faktorisieren!

Challenge Aufgaben

4*) Was ist der größte gemeinsame Teiler von $20 x^{76}$ ‍ und $8 x^{92}$ ‍?

5*) Was ist der größte gemeinsame Teiler von $40 x^{5} y^{2}$ ‍ und $32 x^{2} y^{3}$ ‍?

Um den größten gemeinsamen Teiler von

40 x^{5} y^{2}

und

32 x^{2} y^{3}

zu ermitteln, wollen wir jedes Monom vollständig faktorisieren.

$40 x^{5} y^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍
$32 x^{2} y^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y$ ‍

Die Monome haben jeweils drei Teiler von

2

, zwei Teiler von

x

und zwei Teiler von

y

gemeinsam. Daher ist der größte gemeinsame Teiler des Polynom

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y

oder

8 x^{2} y^{2}

Beachte alternativ, dass die kleinste Potenz von

x

gleich

x^{2}

ist und die kleinste Potenz von

y

gleich

y^{2}

ist. Daher ist der variable Teil des ggT gleich

x^{2} y^{2}

. Der ggT von

40

und

32

ist

8

und daher ist der ggT des Monoms gleich

8 x^{2} y^{2}

Wie geht es weiter?

Um zu sehen, wie wir diese Fertigkeiten nutzen können um Polynome zu faktorisieren, schau dir unseren nächsten Artikel Ausklammern des größten gemeinsamen Faktors an!

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