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Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 15

Lektion 2: Monome faktorisieren
Mathematik
Algebra 1
Faktorisierung
Monome faktorisieren
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Größter gemeinsamer Teiler von Monomen

Google Classroom
Lerne wie du den ggT (größten gemeinsamen Teiler) von zwei Monomen oder mehr ermittelst.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein Monom ist ein Term, der ein Produkt einer Konstanten und einer nichtnegativen, ganzzahligen Potenz von x darstellt, wie 3, x, squared. Ein Polynom ist eine Summe von Monomen.
Du kannst die vollständige Faktorisierung eines Monoms schreiben, indem du die Primfaktorzerlegung des Koeffizienten schreibst, multipliziert mit dem variablen Teil. Schau dir unseren Monome faktorisieren Artikel an, wenn das neu ist für dich.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion, wirst du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) kennenlernen und wie du diesen für Monome herausfindest.

Wiederholung: größter gemeinsame Teiler bei ganzen Zahlen

Der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist die größte ganze Zahl , die ein Teiler von beiden Zahlen ist. Zum Beispiel ist das ggT von 12 und 18 die 6.
Wir können den ggT für zwei Zahlen herausfinden, indem wir sie in Primfaktoren zerlegen:
  • 12, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 2, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10
  • 18, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, dot, 3
Beachte, dass 12 und 18 haben den Teiler start color #11accd, 2, end color #11accd und den Teiler start color #e07d10, 3, end color #e07d10 gemeinsam haben, und daher ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18 gleich start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, equals, 6.

Größter gemeinsamer Teiler bei Monomen

Der Prozess ist ähnlich, wenn du den größten gemeinsamen Teiler von zwei oder mehr Monomen ermitteln sollst.
Schreibe einfach die vollständige Faktorisierung von jedem Monom und ermittle die gemeinsamen Teiler. Das Produkt von allen gemeinsamen Teilern ist das ggT.
Zum Beispiel finden wir den größten gemeinsamen Faktor von 10, x, cubed und 4, x:
  • 10, x, cubed, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 5, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x, dot, x
  • 4, x, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 2, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Beachte, dass 10, x, cubed und 4, x einen Teiler start color #11accd, 2, end color #11accd und einen Teiler start color #e07d10, x, end color #e07d10 gemeinsam haben, und daher ist der größte gemeinsame Teiler start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10 oder 2, x.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Was ist der größte gemeinsame Teiler von 9, x, squared und 6, x?
Wähle eine Lösung.

2) Was ist der größte gemeinsame Teiler von 12, x, start superscript, 5, end superscript und 8, x, cubed?

3) Was ist der größte gemeinsame Teiler von 5, x, start superscript, 7, end superscript, 30, x, start superscript, 4, end superscript und 10, x, cubed?

Ein Hinweis auf den variablen Teil des größten gemeinsamen Vielfachen

Im allgemeinen ist der variable Teil des ggT bei zwei oder mehr Monome gleich der Variable mit der kleinsten Potenz von x.
Betrachte z. B. die Monome start color #11accd, 6, end color #11accd, start color #e07d10, x, start superscript, 5, end superscript, end color #e07d10 und start color #11accd, 4, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10:
  • Da die kleinste Potenz von x gleich start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10 ist, ist das der variable Teil des ggT.
  • Du könntest dann den ggT von start color #11accd, 6, end color #11accd und start color #11accd, 4, end color #11accd ermitteln, welcher start color #11accd, 2, end color #11accd ist, und diesen mit start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10 multiplizieren um start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10 zu erhalten, den ggT der Monome!
Der ggT von 6 und 4 ist 2Die kleinste Potenz von x5 und x2 ist x2↘↙ggT(6x5,4x2)=2x2\begin{aligned} \text{Der ggT von }\blueD 6\text{ und }\blueD 4\text{ ist }\blueD 2\qquad&\quad\text{Die kleinste Potenz von }\goldD{x^5}\text{ und }\goldD{x^2}\text{ ist }\goldD{x^2} \\ \searrow\quad&\quad\swarrow \\ \LARGE\text{ggT}(\blueD 6\goldD{x^5},\blueD 4\goldD{x^2})=\blueD 2&\LARGE \goldD{x^2} \end{aligned}
Dies ist besonders hilfreich zu verstehen, wenn der ggT von Monomen mit sehr großen Potenzen von x ermittelt werden soll. Zum Beispiel würde es sehr mühsam sein Monome wie 32, x, start superscript, 100, end superscript und 16, x, start superscript, 88, end superscript vollständig zu faktorisieren!

Challenge Aufgaben

4*) Was ist der größte gemeinsame Teiler von 20, x, start superscript, 76, end superscript und 8, x, start superscript, 92, end superscript?

5*) Was ist der größte gemeinsame Teiler von 40, x, start superscript, 5, end superscript, y, squared und 32, x, squared, y, cubed?

Wie geht es weiter?

Um zu sehen, wie wir diese Fertigkeiten nutzen können um Polynome zu faktorisieren, schau dir unseren nächsten Artikel Ausklammern des größten gemeinsamen Faktors an!

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