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Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 15

Lektion 3: Polynome faktorisieren durch Benutzen von gemeinsamen Faktoren

Polynome faktorisieren durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors

Lerne wie man einen gemeinsamen Faktor aus einem polynomischen Term faktorisiert. Zum Beispiel, faktorisiere 6x²+10x als 2x(3x+5).

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Der ggT (größte gemeinsame Teiler) von zwei oder mehr Monomen ist das Produkt aller ihrer gemeinsamen Faktoren. Zum Beispiel ist das ggT von

6 x

und

4 x^{2}

gleich

2 x

Wenn dies neu ist für dich, solltest du unseren Größter gemeinsamer Teiler von Monomen-Artikel ausprobieren.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion lernst du wie du gemeinsame Faktoren von Polynomen ausklammerst.

Das Distributivgesetz: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

Um zu verstehen, wie du gemeinsame Faktoren ausklammerst, müssen wir das Distributivgesetz verstehen.

Zum Beispiel können wir das Distributivgesetz benutzen, um das Produkt von

3 x^{2}

und

4 x + 3

herauszufinden, wie unten gezeigt:

3 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (4 x + 3) = 3} x^{2} (4 x) + 3} x^{2} (3)

Beachte wie jeder Term in dem Binom mit einem gemeinsamen Faktor von

3 x^{2}

multipliziert wird.

Weil aber das Distributivgesetz eine Gleichung ist, ist die Umkehrung dieses Prozesses auch wahr!

3 \overset{⏜}{x^{2} (4 x) + 3 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 3}} x^{2} (4 x + 3)

Wenn wir mit

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

beginnen, können wir das Distributivgesetz benutzen um

3 x^{2}

auszuklammern und

3 x^{2} (4 x + 3)

zu erhalten.

Der sich ergebende Term ist in faktorisierter Form, weil er als Produkt von zwei Polynomen geschrieben wird, wobei der Originalterm eine Summe aus zwei Termen ist.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Aufgabe 1

Schreibe $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍ in faktorisierter Form.

Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern

Um das ggT aus einem Polynom auszuklammern, machen wir das folgende:

Ermittle den größten ggT von allen Termen in dem Polynom.
Drücke jeden Term als Produkt des ggT und einem anderen Faktor aus.
Nutze das Distributivgesetzt, um den ggT auszuklammern.

Wir wollen das ggT aus

2 x^{3} - 6 x^{2}

ausklammern.

Schritt 1: Ermittle das ggT

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Daher ist das ggT von

2 x^{3} - 6 x^{2}

gleich

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

Schritt 2: Drücke jeden Term als ein Produkt von $2 x^{2}$ ‍ und einem anderen Faktor aus.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

Also kann das Polynom geschrieben werden als

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

Schritt 3: Klammere das ggT aus

Nun können wir das Distributivgesetz anwenden um

2 x^{2}

auszuklammern.

2 \overset{⏜}{x^{2} (x) - 2 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 2}} x^{2} (x - 3)

Unser Ergebnis überprüfen

Wir können unsere Faktorisierung prüfen, indem wir

2 x^{2}

zurück in das Polynom multiplizieren.

2 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (x - 3) = 2} x^{2} (x) - 2} x^{2} (3)

Da dies das Gleiche ist wie das Originalpolynom, ist unsere Faktorisierung richtig!

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Aufgabe 2

Klammere den größten gemeinsamen Faktor in $12 x^{2} + 18 x$ ‍ aus.

Aufgabe 3

Klammere den größten gemeinsamen Faktor in dem folgenden Polynom aus.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

Aufgabe 4

Klammere den größten gemeinsamen Faktor in dem folgenden Polynom aus.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

Können wir effektiver sein?

Wenn du dich mit dem Prozess des Ausklammerns des ggT gut auskennst, können wir eine schnellere Methode benutzen:

Wenn wir das ggT kennen, ist die faktorisierte Form einfach das Produkt dieses ggTs und der Summe der Terme in dem Originalpolynom, dividiert durch das ggT.

Schau zum Beispiel wie wir diese schnelle Methode benutzen, um

5 x^{2} + 10 x

zu faktorisieren, dessen ggT

5 x

ist:

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

Binome ausklammern

Der gemeinsame Faktor in einem Polynom muss kein Monom sein.

Untersuche zum Beispiel das Polynom

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

Beachte, dass das Binom

2 x - 1

bei beiden Terme vorkommt. Wir können dieses Binom ausklammern, indem wir das Distributivgesetz benutzen:

x (2 x \overset{⏜}{- 1) - 4 (2 x \overset{⏜}{- 1) = (x - 4) (2 x -}} 1)

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Aufgabe 5

Klammere den größten gemeinsamen Faktor in dem folgenden Polynom aus.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

Verschieden Arten der Faktorisierung

Es scheinen so, dass wir den Begriff "faktorisieren" benutzt haben, um verschiedene Prozesse zu beschreiben:

Wir faktorisierten Monome, indem wir sie als Produkt von anderen Monomen schreiben. Zum Beispiel, $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍.
Wir faktorisierten das ggT von Polynomen, indem wir das Distributivgesetz benutzen. Zum Beispiel, $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
Wir haben gemeinsame binomische Faktoren ausgeklammert, was zu einem Ausdruck führte, der dem Produkt zweier Binome entspricht. Zum Beispiel:

x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)

Obwohl wir verschiedene Techniken benutzen könnten, in jedem Fall schreiben wir das Polynom als ein Produkt von zwei oder mehr Faktoren. Daher faktorisierten wir in der Tat in allen drei Beispielen, das Polynom.

Challenge Aufgaben

Aufgabe 6

Klammere den größten gemeinsamen Faktor in dem folgenden Polynom aus.

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

Aufgabe 7

Ein großes Rechteck mit einer Fläche von

14 x^{4} + 6 x^{2}

Quadratmetern ist aufgeteilt in zwei kleinere Rechtecke mit den Flächen

14 x^{4}

und

6 x^{2}

Quadratmetern.

Die Breite des Rechtecks (in Metern) entspricht dem größten gemeinsamen Faktor von

14 x^{4}

und

6 x^{2}

Was ist die Länge und Breite des großen Rechtecks?

Breite =

Meter

Länge =

Meter

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Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern

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Können wir effektiver sein?

Binome ausklammern

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