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Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 15

Lektion 2: Monome faktorisieren
Mathematik
Algebra 1
Faktorisierung
Monome faktorisieren
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Monome faktorisieren

Google Classroom
Lerne, wie man monomiale Ausdrücke komplett faktorisiert oder den fehlenden Faktor in einer monomialen Faktorisierung findet.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein Monom ist ein Term, der ein Produkt einer Konstanten und einer nichtnegativen, ganzzahligen Potenz von x darstellt, wie 3, x, squared. Ein Polynom ist eine Summe von Monomen, like 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.
Wenn A, equals, B, dot, C, dann sind B und C Faktoren von A, und A ist durch B und C teilbar. Um diesen Stoff aufzuarbeiten, schau die unseren Artikel Faktorisierung und Teilbarkeit an.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion erfährst du wie du Monome ausklammerst. Verwende, was du bereits über das Ausklammern von Ganzen Zahlen weißt um dir bei dieser Aufgabe zu helfen.

Einführung: Was ist eine Faktorisierung von Monomen?

Ein Monom zu faktorisieren bedeutet, es als ein Produkt von zwei oder mehreren Monomen auszudrücken.
Im folgenden sind beispielsweise mehrere mögliche Faktorisierungen von 8, x, start superscript, 5, end superscript.
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, x, start superscript, 4, end superscript, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, right parenthesis
Beachte, dass wenn du jeden Ausdruck auf der rechten Seite multiplizierst, du 8, x, start superscript, 5, end superscript erhältst.

Eine Frage zum Nachdenken

Andrei, Amit und Andrew wurden jeweils gebeten, den Begriff 20, x, start superscript, 6, end superscript als das Produkt von zwei Monome Teiler, auszuklammern. Ihre Antworten werden unten gezeigt.
AndreiAmitAndrew
20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 10, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, left parenthesis, 5, x, cubed, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 20, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis
1) Welcher der Schüler zerlegt 20, x, start superscript, 6, end superscript richtig in Faktoren?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Monome vollständig faktorisieren

Wiederholung: Ganze Zahlen faktorisieren

Um eine ganze Zahl vollständig zu faktorisieren, schreiben wir sie als Produkt von Primzahlen.
Wir wissen zum Beispiel, dass 30, equals, 2, dot, 3, dot, 5.

Und nun zu Monomen ...

Um ein Monom komplett zu faktorisieren, schreiben wir die Koeffizienten als Produkt von Primzahlen und erweitern den variablen Teil.
Um zum Beispiel 10, x, cubed vollständig zu faktorisieren, können wir die Primfaktorenzerlegung von 10 als 2, dot, 5 schreiben und x, cubed als x, dot, x, dot, x schreiben. Daher ist dies die vollständige Faktorisierung von 10, x, cubed:
10, x, cubed, equals, 2, dot, 5, dot, x, dot, x, dot, x

Überprüfe, ob du es verstanden hast

2) welche der folgenden ist dievollständige Faktorisierung von 6, x, squared?
Wähle eine Lösung.

3) Welche der folgenden ist die vollständige Faktorisierung von 14, x, start superscript, 4, end superscript?
Wähle eine Lösung.

Fehlende Faktoren von Monomen ermitteln

Wiederholung: Ganze Zahlen faktorisieren

Nehmen wir an wir wissen, dass 56, equals, 8, b für irgendeine ganze Zahl b. Wie können wir den anderen Faktor ermitteln?
Nun, wir können die Gleichung 56, equals, 8, b nach b auflösen, indem wir beide Seiten der Gleichung durch 8 dividieren. Der fehlende Faktor ist 7.

Und nun zu Monomen ...

Wir können diese Ideen auf Monome erweitern. Angenommen, 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, left parenthesis, C, right parenthesis für ein Monom C. Wir finden C, indem wir 8, x, start superscript, 5, end superscript mit 4, cubed dividieren:
8x5=(4x3)(C)8x54x3=(4x3)(C)4x3Dividiere beide Seiten durch 4x32x2=CVereinfache mit den Potenzgesetzen\begin{aligned}8x^5&=(4x^3)(C)\\ \\ \dfrac{8x^5}{4x^3}&=\dfrac{(4x^3)(C)}{4x^3}&&\small{\gray{\text{Dividiere beide Seiten durch }4x^3}}\\ \\\\\\ 2x^2&=C&&\small{\gray{\text{Vereinfache mit den Potenzgesetzen}}} \end{aligned}
Wir können unsere Arbeit überprüfen, indem wir zeigen, dass das Produkt von 4, x, cubed und 2, x, squared in der Tat 8, x, start superscript, 5, end superscript ist.
(4x3)(2x2)=4⋅2⋅x3⋅x2=8x5\begin{aligned}(\purpleC{4}\tealD {x^3})(\purpleC{2}\tealD{x^2})&=\purpleC 4\cdot \purpleC{2}\cdot \tealD {x^3}\cdot \tealD{x^2}\\ \\ &=\purpleC{8}\tealD{x^5} \end{aligned}

Überprüfe, ob du es verstanden hast

4) Ermittle den fehlenden Faktor B, der die folgende Gleichung richtig macht.
28, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, B, right parenthesis, left parenthesis, 7, x, right parenthesis
Wähle eine Lösung.

5) Ermittle den fehlenden Faktor C, der die folgende Gleichung richtig macht.
40, x, start superscript, 9, end superscript, equals, left parenthesis, C, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis
C, equals

Eine Anmerkung über mehrfache Faktorisierungen

Prüfe die Nummer 12. Wir können vier verschiedene Faktorisierungen dieser Zahl schreiben.
  • 12, equals, 2, dot, 6
  • 12, equals, 3, dot, 4
  • 12, equals, 12, dot, 1
  • 12, equals, 2, dot, 2, dot, 3
Allerdings gibt es nur eine Primfaktorzerlegung der Zahl 12, das ist 2, dot, 2, dot, 3.
Das gleiche Konzept gilt bei Monomen. Wir können 18, x, cubed auf verschiedene Arten faktorisieren. Hier sind ein paar verschiedene Faktorisierungen.
  • 18, x, cubed, equals, 2, dot, 9, dot, x, cubed
  • 18, x, cubed, equals, 3, dot, 6, dot, x, dot, x, squared
  • 18, x, cubed, equals, 2, dot, 3, dot, 3, dot, x, cubed
Trotzdem gibt es nur eine vollständige Faktorisierung!
18, x, cubed, equals, 2, dot, 3, dot, 3, dot, x, dot, x, dot, x

Challenge Aufgaben

6*) Schreibe die vollständige Faktorisierung von 22, x, y, squared.
22, x, y, squared, equals

7*) Das Rechteck unten hat eine Fläche von 24, x, cubed Quadratmetern und eine Länge von 4, x, squared Metern.
Was ist die Breite des Rechtecks?
start text, B, r, e, i, t, e, end text, equals
Meter

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