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Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 15

Lektion 2: Monome faktorisieren

Monome faktorisieren

Lerne, wie man monomiale Ausdrücke komplett faktorisiert oder den fehlenden Faktor in einer monomialen Faktorisierung findet.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein Monom ist ein Term, der ein Produkt einer Konstanten und einer nichtnegativen, ganzzahligen Potenz von

x

darstellt, wie

3 x^{2}

. Ein Polynom ist eine Summe von Monomen, like

3 x^{2} + 6 x - 1

Wenn

A = B \cdot C

, dann sind

B

und

C

Faktoren von

A

, und

A

ist durch

B

und

C

teilbar. Um diesen Stoff aufzuarbeiten, schau die unseren Artikel Faktorisierung und Teilbarkeit an.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion erfährst du wie du Monome ausklammerst. Verwende, was du bereits über das Ausklammern von Ganzen Zahlen weißt um dir bei dieser Aufgabe zu helfen.

Einführung: Was ist eine Faktorisierung von Monomen?

Ein Monom zu faktorisieren bedeutet, es als ein Produkt von zwei oder mehreren Monomen auszudrücken.

Im folgenden sind beispielsweise mehrere mögliche Faktorisierungen von

8 x^{5}

$8 x^{5} = (2 x^{2}) (4 x^{3})$ ‍
$8 x^{5} = (8 x) (x^{4})$ ‍
$8 x^{5} = (2 x) (2 x) (2 x) (x^{2})$ ‍

Beachte, dass wenn du jeden Ausdruck auf der rechten Seite multiplizierst, du

8 x^{5}

erhältst.

Eine Frage zum Nachdenken

Andrei, Amit und Andrew wurden jeweils gebeten, den Begriff

20 x^{6}

als das Produkt von zwei Monome Teiler, auszuklammern. Ihre Antworten werden unten gezeigt.

Andrei			Amit			Andrew
$20 x^{6} = (2 x) (10 x^{5})$ ‍			$20 x^{6} = (4 x^{3}) (5 x^{3})$ ‍			$20 x^{6} = (20 x^{2}) (x^{3})$ ‍

1) Welcher der Schüler zerlegt $20 x^{6}$ ‍ richtig in Faktoren?

Wir können die Faktoren multiplizieren um Andreis, Amits und Andrews Ergebis zu prüfen.

Lass uns

(2 x) (10 x^{5})

ermitteln, um Andreis Arbeit zu überprüfen:

$\begin{aligned} (2 x) (10 x^{5}) & = 2 \cdot 10 \cdot x \cdot x^{5} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

Andrei hat recht.

Lass uns

(4 x^{3}) (5 x^{3})

ermitteln, um Amits Arbeit zu überprüfen:

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (5 x^{3}) & = 4 \cdot 5 \cdot x^{3} \cdot x^{3} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

Amit ist auch korrekt.

Schließlich wollen wir

(20 x^{2}) (x^{3})

herausfinden, um Andrews Ergebnis zu prüfen.

$\begin{aligned} (20 x^{2}) (x^{3}) & = 20 \cdot x^{2} \cdot x^{3} \\ = 20 x^{5} \end{aligned}$ ‍

Andrew liegt falsch.

Andrei und Amit liegen beide richtig.

Monome vollständig faktorisieren

Wiederholung: Ganze Zahlen faktorisieren

Um eine ganze Zahl vollständig zu faktorisieren, schreiben wir sie als Produkt von Primzahlen.

Wir wissen zum Beispiel, dass

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

Und nun zu Monomen ...

Um ein Monom komplett zu faktorisieren, schreiben wir die Koeffizienten als Produkt von Primzahlen und erweitern den variablen Teil.

Um zum Beispiel

10 x^{3}

vollständig zu faktorisieren, können wir die Primfaktorenzerlegung von

10

als

2 \cdot 5

schreiben und

x^{3}

als

x \cdot x \cdot x

schreiben. Daher ist dies die vollständige Faktorisierung von

10 x^{3}

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

Überprüfe, ob du es verstanden hast

2) welche der folgenden ist dievollständige Faktorisierung von $6 x^{2}$ ‍?

3) Welche der folgenden ist die vollständige Faktorisierung von $14 x^{4}$ ‍?

Fehlende Faktoren von Monomen ermitteln

Wiederholung: Ganze Zahlen faktorisieren

Nehmen wir an wir wissen, dass

56 = 8 b

für irgendeine ganze Zahl

b

. Wie können wir den anderen Faktor ermitteln?

Nun, wir können die Gleichung

56 = 8 b

nach

b

auflösen, indem wir beide Seiten der Gleichung durch

8

dividieren. Der fehlende Faktor ist

7

Und nun zu Monomen ...

Wir können diese Ideen auf Monome erweitern. Angenommen,

8 x^{5} = (4 x^{3}) (C)

für ein Monom

C

. Wir finden

C

, indem wir

8 x^{5}

mit

4^{3}

dividieren:

$\begin{aligned} 8 x^{5} & = (4 x^{3}) (C) \\ \frac{8 x^{5}}{4 x^{3}} & = \frac{(4 x^{3}) (C)}{4 x^{3}} & Dividiere beide Seiten durch 4 x^{3} \\ 2 x^{2} & = C & Vereinfache mit den Potenzgesetzen \end{aligned}$ ‍

Wir können unsere Arbeit überprüfen, indem wir zeigen, dass das Produkt von

4 x^{3}

und

2 x^{2}

in der Tat

8 x^{5}

ist.

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (2 x^{2}) & = 4 \cdot 2 \cdot x^{3} \cdot x^{2} \\ = 8 x^{5} \end{aligned}$ ‍

Überprüfe, ob du es verstanden hast

4) Ermittle den fehlenden Faktor $B$ ‍, der die folgende Gleichung richtig macht.

28 x^{5} = (B) (7 x)

5) Ermittle den fehlenden Faktor $C$ ‍, der die folgende Gleichung richtig macht.

40 x^{9} = (C) (4 x^{3})

C =

Eine Anmerkung über mehrfache Faktorisierungen

Prüfe die Nummer

12

. Wir können vier verschiedene Faktorisierungen dieser Zahl schreiben.

$12 = 2 \cdot 6$ ‍
$12 = 3 \cdot 4$ ‍
$12 = 12 \cdot 1$ ‍
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍

Allerdings gibt es nur eine Primfaktorzerlegung der Zahl

12

, das ist

2 \cdot 2 \cdot 3

Das gleiche Konzept gilt bei Monomen. Wir können

18 x^{3}

auf verschiedene Arten faktorisieren. Hier sind ein paar verschiedene Faktorisierungen.

$18 x^{3} = 2 \cdot 9 \cdot x^{3}$ ‍
$18 x^{3} = 3 \cdot 6 \cdot x \cdot x^{2}$ ‍
$18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x^{3}$ ‍

Trotzdem gibt es nur eine vollständige Faktorisierung!

18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x

Challenge Aufgaben

6*) Schreibe die vollständige Faktorisierung von $22 x y^{2}$ ‍.

22 x y^{2} =

Dieser Ausdruck enthält mehrere Variablen. Wir können jedoch die gleichen Methoden wie oben verwenden, um die komplette Faktorisierung zu schreiben.

In diesem Fall ist es wichtig zu beachten, dass

22 x y^{2} \neq 22 (x y)^{2}

22 x y^{2}

vollständig zu faktorisieren, können wir die Primfaktorzerlegung von

22

als

2 \cdot 11

schreiben und

y^{2}

als

y \cdot y

schreiben. Der Faktor von

x

kann nicht weiter zerlegt werden.

$22 x y^{2} = 2 \cdot 11 \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍

7*) Das Rechteck unten hat eine Fläche von

24 x^{3}

Quadratmetern und eine Länge von

4 x^{2}

Metern.

Was ist die Breite des Rechtecks?

Breite =

Meter

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