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Hauptinhalt

Einführung in Faktoren & Teilbarkeit

Lerne was es bedeutet, dass Polynome Teiler (Faktoren) von anderen Polynomen sind oder dass sie durch sie teilbar sind.

Was wir für diese Lektion wissen müssen

Ein Monom ist ein Term, der ein Produkt von Konstanten und nichtnegativen, ganzzahligen Potenzen von x darstellt, wie 3, x, squared. Ein Polynom ist ein Term, der aus einer Summe von Monomen besteht, wie 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.

Was wir in dieser Lektion lernen werden

In dieser Lektion erkunden wir die Beziehung zwischen Faktoren und Teilbarkeit in Polynomen und wir lernen auch wie wir feststellen, ob ein Polynom ein Faktor eines anderen ist.

Teiler und Teilbarkeit von ganzen Zahlen

Zwei ganze Zahlen, die multipliziert werden um eine neue Zahl zu erhalten, bestehen im allgemeinen aus Faktoren dieser Zahl.
Zum Beispiel, da 14, equals, 2, dot, 7 ist, wissen wir, dass 2 und 7 Teiler von 14 sind.
Eine Zahl ist teilbar durch eine andere Zahl, wenn das Ergebnis der Division eine ganze Zahl ist.
Da zum Beispiel start fraction, 15, divided by, 3, end fraction, equals, 5 und start fraction, 15, divided by, 5, end fraction, equals, 3, dann ist 15 teilbar durch 3 und 5. Wenn aber start fraction, 9, divided by, 4, end fraction, equals, 2, comma, 25 ist, dann ist 9 nicht teilbar durch 4.
Beachte die wechselseitige Beziehung zwischen Teilern und Teilbarkeit:
Da start color #e07d10, 14, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 7 (was bedeutet, dass 2 ein Teiler von 14 ist), wissen wir, dass start fraction, start color #e07d10, 14, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 2, end color #11accd, end fraction, equals, 7 (was bedeutet, dass 14 teilbar durch 2 ist).
start underbrace, start color #a75a05, 14, end color #a75a05, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, dot, 7, end underbrace, start subscript, 2, start text, space, i, s, t, space, e, i, n, space, T, e, i, l, e, r, space, v, o, n, space, end text, 14, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 14, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, end fraction, equals, 7, end underbrace, start subscript, 14, start text, space, i, s, t, space, t, e, i, l, b, a, r, space, d, u, r, c, h, space, end text, 2, end subscript
In die andere Richtung, da start fraction, start color #e07d10, 15, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, equals, 5 (was bedeutet, dass 15 teilbar durch 3 ist), wissen wir, dass start color #e07d10, 15, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, 5 (was bedeutet, dass 3 ein Teiler von 15 ist).
start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 15, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, end fraction, equals, 5, end underbrace, start subscript, 15, start text, space, i, s, t, space, t, e, i, l, b, a, r, space, d, u, r, c, h, space, end text, 3, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start color #a75a05, 15, end color #a75a05, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, dot, 5, end underbrace, start subscript, 3, start text, space, i, s, t, space, e, i, n, space, F, a, k, t, o, r, space, v, o, n, space, end text, 15, end subscript
Dies ist im allgemeinen wahr: Wenn a ein Teiler von b ist, dass ist b teilbar durch a und umgekehrt.

Teiler und Teilbarkeit in Polynomen

Dieses Wissen kann auch für Polynome angewendet werden.
Wenn zwei oder mehr Polynome multipliziert werden, nennen wir jede dieser Polynome Teiler des Produkts.
Zum Beispiel, wir wissen, dass 2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 6, x ist. Dies bedeutet, dass 2, x und x, plus, 3 Teiler von 2, x, squared, plus, 6, x sind.
Auch ist ein Polynom teilbar durch ein anderes Polynom, wenn der Quotient auch ein Polynom ist.
Zum Beispiel, da start fraction, 6, x, squared, divided by, 3, x, end fraction, equals, 2, x ist und da start fraction, 6, x, squared, divided by, 2, x, end fraction, equals, 3, x ist, dann ist 6, x, squared teilbar durch 3, x und 2, x. Da aber start fraction, 4, x, divided by, 2, x, squared, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, x, end fraction ist, wissen wir, dass 4, x nicht teilbar durch 2, x, squared ist.
Bei Polynomen können wir die gleiche Beziehung zwischen Faktoren und Teilbarkeit feststellen wie bei den ganzen Zahlen.
start underbrace, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, dot, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, start color #a75a05, 2, x, squared, plus, 6, x, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, 2, x, start text, space, i, s, t, space, e, i, n, space, T, e, i, l, e, r, space, v, o, n, space, end text, 2, x, squared, plus, 6, x, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 2, x, squared, plus, 6, x, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, end fraction, equals, x, plus, 3, end underbrace, start subscript, 2, x, squared, plus, 6, x, start text, space, i, s, t, space, t, e, i, l, b, a, r, space, d, u, r, c, h, space, end text, 2, x, end subscript
start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 6, x, squared, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 3, x, end color #0c7f99, end fraction, equals, 2, x, end underbrace, start subscript, 6, x, squared, start text, space, i, s, t, space, t, e, i, l, b, a, r, space, d, u, r, c, h, space, end text, 3, x, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start color #0c7f99, 3, x, end color #0c7f99, dot, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, equals, start color #a75a05, 6, x, squared, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, 3, x, start text, space, i, s, t, space, e, i, n, space, T, e, i, l, e, r, space, v, o, n, space, end text, 6, x, squared, end subscript
Im Allgemeinen, wenn p, equals, q, dot, r für die Polynome p, q und r, dann wissen wir das Folgende:
  • q und r sind Teiler von p.
  • p ist teilbar durch q und r.

Überprüfe dein Verständnis

1) Ergänze den Satz über die Beziehung, die durch 3, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x ausgedrückt wird.
x, plus, 2 ist
3, x, squared, plus, 6, x, und 3, x, squared, plus, 6, x is
x, plus, 2.

2) Ein Lehrer schreibt das folgende Produkt an die Tafel:
left parenthesis, 3, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, equals, 12, x, cubed
Miles schlussfolgert, dass 3, x, squared ein Teiler von 12, x, cubed ist.
Jude erkennt, dass 12, x, cubed teilbar durch 4, x ist.
Wer hat recht?
Wähle eine Lösung.
Wähle eine Lösung.

Teiler und Teilbarkeit bestimmen

Beispiel 1: Ist 24, x, start superscript, 4, end superscript teilbar durch 8, x, cubed?

Um diese Frage zu beantworten, können wir start fraction, 24, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, x, cubed, end fraction bestimmen und kürzen. Wenn das Ergebnis ein Monom ist, dann ist 24, x, start superscript, 4, end superscript teilbar durch 8, x, cubed. Wenn das Ergebnis kein Monom ist, dass ist 24, x, start superscript, 4, end superscript nicht teilbar durch 8, x, cubed.
24x48x3=248x4x3=3x1aman=amn=3x\begin{aligned}\dfrac{24x^4}{8x^3}&=\dfrac{24}{8}\cdot\dfrac{x^4}{x^3}\\ \\ &=3\cdot x^1&&{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=3x \end{aligned}
Da das Ergebnis ein Monom ist, wissen wir, dass 24, x, start superscript, 4, end superscript teilbar durch 8, x, cubed ist. (Dies deutet auch an, dass 8, x, cubed ein Teiler von 24, x, start superscript, 4, end superscript ist.)

Beispiel 2: Is 4, x, start superscript, 6, end superscript ein Teiler von 32, x, cubed?

Wenn 4, x, start superscript, 6, end superscript ein Teiler von 32, x, cubed ist, dann ist 32, x, cubed teilbar durch 4, x, start superscript, 6, end superscript. Daher wollen wir start fraction, 32, x, cubed, divided by, 4, x, start superscript, 6, end superscript, end fraction bestimmen und kürzen.
32x34x6=324x3x6=8x3aman=amn=81x3am=1am=8x3\begin{aligned}\dfrac{32x^3}{4x^6}&=\dfrac{32}{4}\cdot\dfrac{x^3}{x^6}\\ \\ &=8\cdot x^{-3}&&{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=8\cdot \dfrac{1}{x^3}&&{\gray{a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}}}\\ \\ &=\dfrac{8}{x^3} \end{aligned}
Beachte, dass der Term start fraction, 8, divided by, x, cubed, end fraction kein Monom ist, da er ein Quotient ist, kein Produkt. Daher können wir schlussfolgern, dass 4, x, start superscript, 6, end superscript kein Teiler von 32, x, cubed ist.

Eine Zusammenfassung

Im Allgemeinen, um festzustellen, ob ein Polynom p teilbar durch ein anderes Polynom q ist, oder gleichermaßen ob q ein Teiler von p ist, können wir start fraction, p, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, q, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction bestimmen und prüfen.
Ist die gekürzte Form ein Polynom, dann ist p teilbar durch q und q ist ein Teiler von p.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

3) Ist 30, x, start superscript, 4, end superscript teilbar durch 2, x, squared?
Wähle eine Lösung.
Wähle eine Lösung.

4) Ist 12, x, squared ein Teiler von 6, x?
Wähle eine Lösung.
Wähle eine Lösung.

Challenge Aufgaben

5*) Welche der folgenden Monome sind Teiler von 15, x, squared, y, start superscript, 6, end superscript ?
 
Teiler
Kein Faktor
3, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript
5, x
10, x, start superscript, 4, end superscript, y, cubed

6*) Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Höhe x, plus, 1 Einheiten und der Grundseite x, plus, 4 Einheiten ist x, squared, plus, 5, x, plus, 4 Quadrateinheiten.
Welche der Folgenden sind Teiler von x, squared, plus, 5, x, plus, 4?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Warum interessiert uns das Faktorisieren von Polynomen?

Genauso wie das Faktorisieren sich als sehr hilfreich für verschiedene Anwendungen herausgestellt hat, so ist das mit der Faktorisierung von Polynomen!
Insbesondere ist das Faktorisieren von Polynomen sehr hilfreich beim Lösen von quadratischen Gleichungen und Vereinfachen von rationalen Ausdrücken.
Wen du dies sehen möchtest, schau dir die folgenden Artikel an:

Wie geht es weiter?

Der nächste Schritt bei dem Prozeß des Faktorisierens enthält das Lernen, wie wir Mononme faktorisieren. Du kannst etwas darüber in unserem nächsten Artikel lernen.

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