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Rationale Ausdrücke subtrahieren: ungleiche Nenner

Video-Transkript

Wir haben hier einen rationalen Ausdruck, der von einem weiteren rationalen Ausdruck subtrahiert wird. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren und die Subtraktion selbst durchzuführen. Jetzt machen wir es zusammen. Wenn wir zwei rationale Ausdrücke subtrahieren, wollen wir, dass sie denselben Nenner haben. Und sie haben eindeutig nicht denselben Nenner, also müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden. Ein gemeinsamer Nenner ist einer, der durch jeden dieser Nenner teilbar ist. Und dann können wir sie mit einem angemessenen Ausdruck bzw. einer Zahl multiplizieren, um den gemeinsamen Nenner zu erhalten. Da diese beiden Ausdrücke keine gemeinsamen Faktoren haben, wäre der einfachste gemeinsame Nenner das Produkt von beiden. Wir multiplizieren also die beiden Nenner. Und erhalten dann den gemeinsamen Nenner. Ich multipliziere jetzt also diese beiden Nenner. Bei diesem habe ich (8x + 7) und multipliziere mit (3x + 1). Ich multipliziere mit dem anderen Nenner. Ich hatte -5x im Zähler, aber wenn ich den Nenner mit (3x + 1) multipliziere, und nicht will, dass sich der Wert des Ausdrucks ändert, muss ich den Zähler ebenfalls mit (3x + 1) multiplizieren. (3x + 1) / (3x + 1) ergibt einfach nur 1, und es bleibt das übrig, womit du angefangen hast. Und von hier aus subtrahieren wir das alles. Es gibt mehrere Wege, diese Subtraktion zu betrachten. Ich könnte hier ein Minus hinschreiben und dasselbe tun, wie beim ersten Term. Eine weitere Möglichkeit bei diesem bestimmten Fall, die ich lieber mag, ist einfach das Negative hiervon zu addieren. Wenn ich einfach diesen Ausdruck mit -1 multipliziere, erhalte ich (-6x³) / (3x + 1). Wenn ich mehrere Terme im Zähler hätte, müsste ich beim Ausmultiplizieren des Minuszeichens vorsichtig sein, aber hier habe ich nur einen Term. Ich habe jetzt das Negative davon, also kann ich addieren. Unser gemeinsamer Nenner ist das Produkt unserer zwei Nenner, also lautet er (8x + 7)(3x + 1). Der Nenner hier war (3x + 1) und wir haben ihn mit (8x + 7) multipliziert. Das bedeutet, wir müssen den Zähler ebenfalls mit (8x + 7) multiplizieren. (8x + 7)(-6x³). (8x + 7) / (8x + 7) ergibt 1. Wenn du das wegkürzen würdest, würdest du wieder deinen ursprünglichen Ausdruck (-6x³) / (3x + 1) erhalten. Jetzt können wir addieren. Wir haben unseren gemeinsamen Nenner: (8x + 7)(3x + 1). Jetzt will ich -5x ausmultiplizieren. -5x ⋅ 3x = -15x². -5x ⋅ 1 = -5x. Jetzt werde ich die -6x³ ausmultiplizieren. -6x³ ⋅ 8x = -48x⁴. -6x³ ⋅ 7 = -42x³. Ich glaube ich bin fertig, da ich nur einen Term vierten Grades, einen Term dritten Grades, einen Term zweiten Grades, und einen Term ersten Grades habe. Das war's. Es gibt keine weitere Vereinfachung. Du könntest sie in absteigender Reihenfolge der Grade schreiben, also als -48x⁴ - 42x³ - 15x² - 5x. Und im Nenner haben wir (8x + 7)(3x + 1). Aber wir sind fertig. Es gibt nichts mehr auszuklammern. Diese beiden sind durch 5 teilbar. Diese sind durch 6 teilbar, aber selbst wenn ich das ausklammern würde, gibt es hier unten keine 5 oder 6, die ich ausklammern kann. Wir sind also fertig.