Rationale Ausdrücke subtrahieren: faktorisierte Nenner

Pausiere das Video und versuche, den rationalen Ausdruck in Pink von dem in Gelb zu subtrahieren. Okay, jetzt machen wir es zusammen. Zuerst fällt auf, dass die Ausdrücke unterschiedliche Nenner haben, und du willst, dass beide denselben Nenner haben. Du willst sie also umschreiben, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Ein gemeinsamer Nenner der funktionieren würde, ist einer der durch beide dieser Nenner teilbar ist. Er hat also alle Faktoren von jedem dieser Nenner, und zu unserem Glück ist jeder dieser Nenner bereits in Faktoren zerlegt. Ich schreibe also den Ausdruck in Gelb und den in Pink nochmal auf. Wir wollen einen gemeinsamen Nenner finden, der sowohl durch den gelben, als auch den pinken Nenner teilbar ist. Er muss also (z + 8) beinhalten. Er muss (9z - 5) beinhalten. Und er muss auch diese beiden beinhalten. (9z - 5) haben wir bereits. Also muss er durch (z + 6) teilbar sein. Nur dadurch, dass wir den Nenner mit (z + 6) multipliziert haben, können wir jetzt durch beide dieser Faktoren teilen, und beide dieser Faktoren teilen, da (9z - 5) der gemeinsame Faktor von beiden war. Und wenn wir nur Zahlen hätten, die wir bei Brüchen addieren oder subtrahieren, würde es genauso funktionieren. Was steht also im Zähler? Da wir den Nenner mit (z + 6) multipliziert haben, müssen wir dasselbe mit dem Zähler machen. Im Zähler steht also -z³(z + 6). Kommen wir zum rechten Bruch. Wir haben denselben Nenner, also schreiben wir (z + 8)(z + 6)(9z - 5). Die Nenner sind gleichwertig. Ich habe nur die Reihenfolge der Multiplikation geändert, das ändert aber nichts am Wert. Wir hatten vorher eine 3 im Zähler, und wenn wir den Nenner mit (z + 8) multiplizieren, müssen wir den Zähler auch mit (z + 8) multiplizieren. Das haben wir. Was ergibt das alles? Ich habe denselben Nenner. (z + 8)(9z - 5)(z + 6). Hier wollen wir -z³ ausmultiplizieren. -z³ ⋅ z = -z⁴. -z³ ⋅ 6 = -6z³. Bei diesem Minus hier, könnten wir, anstatt den ganzen Term zu subtrahieren, einfach das Negative des Terms addieren. Wir könnten es als -3(z + 8) betrachten. Das könnten wir ausmultiplizieren. Also machen wir das. -3 ⋅ z = -3z. -3 ⋅ 8 = -24. Wir sind fertig. Wir haben einen gemeinsamen Nenner gefunden. Und sobald du einen gemeinsamen Nenner hast, kannst du die Zähler einfach subtrahieren oder addieren, und anstatt diesen ganzen Term zu subtrahieren, habe ich addiert und die -3 im Zähler ausmultipliziert. Ich kann nicht weiter vereinfachen. Manchmal machst du eine dieser Übungen und hast vielleicht zwei Terme zweiten Grades, oder zwei Terme ersten Grades oder zwei konstante Terme oder so etwas, und dann könntest du sie addieren oder subtrahieren, um sie zu vereinfachen. Hier haben wir allerdings verschiedene Grade, also kann ich nicht weiter vereinfachen. Wir sind fertig.