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Rationale Ausdrücke subtrahieren

Sal subtrahiert und vereinfacht (a-2) / (a ​​+ 2) - (a-3) / (a ​​²+ 4a + 4). Erstellt von Sal Khan

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Finde die Differenz. Schreibe die Antwort als vereinfachten, rationalen Ausdruck, und gib den Definitionsbereich an. Wir haben zwei rationale Ausdrücke und subtrahieren den einen vom anderen. Genau so, wie wir es beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen gelernt haben, müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden. Um bei normalen Zahlen oder algebraischen Ausdrücken einen gemeinsamen Nenner zu finden, ist es am einfachsten auszuklammern, und sicherzustellen, dass unser gemeinsamer Nenner alle Faktoren beinhaltet. Das garantiert, dass er durch die beiden Nenner hier teilbar ist. Der Nenner hier ist komplett zerlegt, wir haben nur a + 2. Der Nenner hier drüben ist es nicht. Mal sehen, ob wir ihn zerlegen können: a² + 4a + 4. Du siehst am Muster, dass 4 = 2² ist. 4 = 2 ⋅ 2. Also ist a² + 4a + 4 = (a + 2)(a + 2), oder (a + 2)². Wir könnten sagen, dass es (a + 2)(a + 2) ist, das ist dasselbe wie a² + 4a + 4. Das ist offensichtlich durch sich selbst teilbar, alles ist durch sich selbst teilbar, außer 0, und es ist auch durch (a + 2) teilbar, also ist das hier das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Ausdrücke, und es könnte ein guter gemeinsamer Nenner sein. Wir schreiben es also auf. Wir haben dann als Ergebnis den ersten Term hier: (a - 2) / (a + 2), wir wollen aber, dass der Nenner jetzt (a + 2)(a + 2) ist. Wir wollen, dass er (a + 2)² ist. Also multiplizieren wir den Zähler und Nenner mit (a + 2), damit sein Nenner derselbe ist wie dieser hier. Wir multiplizieren also sowohl den Zähler als auch den Nenner mit (a + 2). Wir nehmen an, dass a ≠ -2 ist, denn dann wäre das hier nicht definiert, und das hier ebenfalls nicht. Durch diese gesamte Rechnung werden wir annehmen, dass a ≠ -2 ist. Der Definitionsbereich besteht aus allen reellen Zahlen außer -2. Das ist also unser erster Term. Und der zweite Term verändert sich nicht, da sein Nenner bereits der gemeinsame Nenner ist. Wir rechnen also (a - 3) / (a + 2)(a + 2). Wir können das auch als a² + 4a + 4 schreiben. Ich schreibe es in der zerlegten Form, da wir dann leichter vereinfachen können: (a + 2)(a + 2). Bevor wir die Zähler addieren, ist es wahrscheinlich eine gute Idee, das hier auszumultiplizieren. Aber ich schreibe zuerst den Nenner auf: (a + 2)(a + 2). Jetzt der Zähler: (a - 2)(a + 2). Wir kennen dieses Muster. Du kannst es ausmultiplizieren, aber wir haben es oft genug gesehen, dass du hoffentlich erkennst, dass es a² - 2² ergibt. Das hier ergibt also a² - 4. Du kannst es ausmultiplizieren und die mittleren Terme kürzen sich weg. -2 ⋅ a kürzt sich mit a ⋅ 2 weg und es bleibt nur a² - 4 übrig. Das haben wir hier gemacht. Und dann haben wir - (a - 3). Wir müssen hier vorsichtig sein: du subtrahierst (a - 3), also musst du das negative Vorzeichen ausmultiplizieren bzw. diese beiden Terme mit -1 multiplizieren. Du könntest also - a hier hinschreiben, und - -3 ist dann +3. Zu was wird es also vereinfacht? Wir haben a² - a. Dann rechnen wir -4 + 3, was -1 ergibt, und im Nenner haben wir (a + 2)(a + 2). Wir können es auch als (a + 2)² schreiben. Wir könnten diesen Zähler noch weiter zerlegen, um sicherzugehen, dass er nicht noch einen gemeinsamen Teiler mit dem Nenner hat. Der Nenner ist einfach nur (a + 2)(a + 2). Und du siehst, dass (a + 2) kein Faktor in diesem oberen Ausdruck ist. Wenn es das wäre, wäre diese Zahl hier durch 2 teilbar und das ist sie nicht. (a + 2) ist also nicht einer der Teiler, also gibt es keine weitere Vereinfachung, selbst wenn wir hier und beim Zähler ausklammern könnten. Also sind wir fertig. Wir haben den rationalen Ausdruck vereinfacht, und der Definitionsbereich besteht aus allen möglichen a-Werten außer -2. Und wir sind fertig.