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Kleinste gemeinsame Vielfache von Polynomen

Sal findet das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 3z³-6z²-9z und 7z⁴ + 21z³+ 14z².

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Video-Transkript

Wir sollen das kleinste gemeinsame Vielfache dieser zwei verschiedenen Polynome finden. Das erste ist 3z³ - 6z² - 9z. Das zweite ist 7z⁴ + 21z³ + 14z². Du weißt bereits, was das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist. Wenn du z.B. das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 finden sollst, könntest du dir alle Vielfache ansehen, und schauen, welches davon das kleinste ist. Also 4, 8, 12, 16, und so weiter. Du könntest dasselbe bei 6 machen. 6, 12, 18, 24, und so weiter. Und du siehst sofort, dass es mehrere gemeinsame Vielfache gibt, und dass das kleinste gemeinsame Vielfache 12 ist. Ein anderer Lösungsweg wäre, die Zahlen in ihre Faktoren zu zerlegen. Du könntest 4 als 2 ⋅ 2 schreiben, wenn wir uns die Primfaktorenzerlegung anschauen. Und 6 ist 2 ⋅ 3. Was ist also das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6? Es muss die Faktoren von beiden beinhalten. Es müssen also zwei 4en, eine 2 und eine 3 beinhalten. Wir haben bereits eine 2. Wir haben sogar zwei davon. Damit wir durch 6 teilen können, müssen wir 3 als einen der Faktoren haben. Wenn du das ganze so betrachtest, musst du also alle Faktoren der beiden Zahlen haben. Wir müssen mindestens zwei 2en haben. Und wir müssen mindestens eine 3 haben, da die beiden 2en die 2 hier drüben schon abdecken. Und du siehst, dass das hier ebenfalls 12 ergibt. Wenn es um Polynome geht, müssen wir etwas mehr darüber nachdenken. Es ist eigentlich dasselbe Prinzip, aber wir müssen etwas mehr darüber nachdenken. Wir denken über die Faktoren nach, und das kleinste gemeinsame Vielfache muss die Faktoren von beiden beinhalten, sollte aber nicht mehr als das beinhalten. Du kannst immer ein Vielfaches zweier Polynome finden, indem du sie mulitplizierst, aber wir wollen nicht irgendein Vielfaches finden. Wir wollen das kleinste gemeinsame Vielfache finden. Also zerlegen wir sie in ihre Faktoren. Zuerst haben wir 3z³ - 6z² - 9z. Alle Terme sind durch 3z teilbar, also klammern wir 3z aus. Also haben wir 3z(z² - 2z - 3). Wenn du die 3z wieder ausmultiplizieren würdest, würdest du genau das erhalten, was hier oben steht. Können wir weiter in Faktoren zerlegen? Gibt es zwei Zahlen, die multipliziert -3 und addiert -2 ergeben? Eine davon muss positiv, und die andere negativ sein, da das Produkt negativ ist. Es sieht so aus, als wäre es -3 und 1. Wir können es also als 3z(z + 1)(z - 3) umschreiben. Ich habe das erste Polynom so weit zerlegt wie möglich. 1 ⋅ (-3) = -3. z - 3z = -2z. Es sieht gut aus. Jetzt zerlegen wir das Polynom vierten Grades in seine Faktoren. Jeder dieser Terme ist durch 7z² teilbar, also klammere ich 7z² aus. z² bleibt übrig, nachdem wir 7z² von 7z⁴ ausgeklammert haben, Dann rechnen wir 21 / 7 = 3, z³ / z² = z. 14 / 7 = 2. z² / z² = 1. Also schreiben wir hier nur eine 2 hin. Wir haben also vorne 7z². In der Klammer können wir weiter faktorisieren. 2 ⋅ 1 = 2, 2 + 1 = 3. Also schreiben wir (z + 1)(z + 2). Jetzt suchen wir das kleinste gemeinsame Vielfache. Wir haben beide Polynome so zerlegt, wie wir es auch bei der Primfaktorzerlegung mit normalen Zahlen machen. Wir haben sie in einfachere Ausdrücke zerlegt, was uns weiterhelfen wird. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Dinge muss jeden dieser Faktoren beinhalten. Das kleinste gemeinsame Vielfache muss also ein 3z beinhalten, es muss eine 3 beinhalten, es muss ein z beinhalten, es muss ein (z + 1) beinhalten. Es muss ein (z - 3) beinhalten. Es muss eine 7 beinhalten. Wir haben hier noch keine 7, also müssen wir eine hinzufügen. Also schreibe ich die 7 nach vorne zu den anderen Zahlen. Es muss ein z² beinhalten. Wir haben momentan nur ein z, also schreiben wir noch ein z dazu. Ich könnte ein weiteres z vorne dazuschreiben, aber ich kann das auch einfach als z² schreiben. Wir haben also immer noch das z, aber jetzt multiplizieren wir mit noch einem z, und erhalten z². Wir haben bereits ein (z + 1). Wir brauchen aber noch ein (z + 2). Fertig. Das ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Ich schreibe es nochmal auf. Es ist 21z²(z + 1)(z - 3)(z + 2). Und wir sind fertig. Ich möchte, dass du daran denkst, dass dieser Prozess hier dem sehr ähnlich ist, den wir bei der Suche von gemeinsamen Vielfache von normalen Zahlen anwenden. Wir schauen uns die Faktoren an. Im Fall von Zahlen schauen wir uns die Primfaktoren an. Wir wissen, dass das kleinste gemeinsame Vielfache all diese Faktoren beinhalten muss. Ich könnte das hier mit 100 multiplizieren, dann wäre es immer noch ein gemeinsames Vielfaches dieser beiden, aber nicht mehr das kleinste gemeinsame Vielfache. 12 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6. Wenn ich einfach nur ein gemeinsames Vielfaches möchte, kann ich das mit 100 multiplizieren. 1200 wäre ebenfalls ein Vielfaches von 4 und 6, aber nicht das kleinste gemeinsame Vielfache, also mache ich das nicht. Ich hoffe, das hilft dir weiter.