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Video-Transkript

Lasst uns versuchen, die Lösungen dieser Gleichung herauszufinden. Lasst uns versuchen, die Lösungen dieser Gleichung herauszufinden. (2x - 3)^2 = 4x - 6 (2x - 3)^2 = 4x - 6 Haltet das Video an dieser Stelle an und legt erst einmal selbst los! Haltet das Video an dieser Stelle an und legt erst einmal selbst los! Einen kleinen Hinweis gibt es von mir schonmal: Einen kleinen Hinweis gibt es von mir schonmal: Ihr könntet die Gleichung umformen und daraus eine klassische quadratische Gleichung bilden, Ihr könntet die Gleichung umformen und daraus eine klassische quadratische Gleichung bilden, aber wenn ihr euch beide Seiten der Gleichung genau anschaut, aber wenn ihr euch beide Seiten der Gleichung genau anschaut, erkennt ihr vielleicht einen einfacheren Weg. Schauen wir uns das gemeinsam an: Auf der linken Seite steht (2x - 3)^2, auf der rechten 4x - 6. Auf der linken Seite steht (2x - 3)^2, auf der rechten 4x - 6. Nun, 4x - 6 ist genau 2 x (2x - 3). Nun, 4x - 6 ist genau 2 x (2x - 3). Noch einmal: Ich kann die Gleichung umschreiben zu: (2x - 3)^2 = 2 x (2x - 3), wenn ich auf der rechten Seite den Faktor 2 ausklammere. (2x - 3)^2 = 2 x (2x - 3), wenn ich auf der rechten Seite den Faktor 2 ausklammere Und jetzt wirds interessant: Und jetzt wirds interessant: hier steht also etwas zum Quadrat, das gleich diesem Etwas mal zwei ist. hier steht also etwas zum Quadrat, das gleich diesem Etwas mal zwei ist. Wenn wir nun nach diesem "Etwas" auflösen können, ganz genau nach dem Ausdruck in der Klammer, Wenn wir nun nach diesem "Etwas" auflösen können, ganz genau nach dem Ausdruck in der Klammer, also das blau Unterstrichene links zum Quadrat soll gleich 2 x das Unterstrichene sein. also das blau Unterstrichene links zum Quadrat soll gleich 2 x das Unterstrichene sein. Ich zeige euch nun, wie wir die Lösung für den Kram in blau herausfinden. Ich zeige euch nun, wie wir die Lösung für den Kram in blau herausfinden. Dann können wir das Ganze nach x auflösen. Dann können wir das Ganze nach x auflösen. Um es einfacher verstehen zu können, lasst uns 2x - 3 durch p ersetzen. Um es einfacher verstehen zu können, lasst uns 2x - 3 durch p ersetzen. Also sage ich: p = 2x - 3 Also sage ich: p = 2x - 3 Also sage ich: p = 2x - 3 Das macht unsere Gleichung viel übersichtlicher. Das macht unsere Gleichung viel übersichtlicher. P^2 = 2 x P, P^2 = 2 x P, denn auch rechts wird aus 2x - 3 einfach P. denn auch rechts wird aus 2x - 3 einfach P. Nun müssen wir nur nach P auflösen. - dazu nehme ich eine andere Farbe - - dazu nehme ich eine andere Farbe - Wenn wir auf beiden Seiten p2 subtrahieren, Wenn wir auf beiden Seiten p2 subtrahieren, erhalten wir P^2 - 2P = 0, da können wir nun P ausklammern. erhalten wir P^2 - 2P = 0, da können wir nun P ausklammern. Wir erhalten P x (P - 2) = 0 Wir erhalten P x (P - 2) = 0 Das haben wir nun schon oft gesehen. Wenn das Produkt zweier Dinge gleich 0 ist, dann muss mindestens eins der beiden 0 sein. Wenn das Produkt zweier Dinge gleich 0 ist, dann muss mindestens eins der beiden 0 sein. Das heißt, entweder P =0, oder P - 2 = 0. Das heißt, entweder P =0, oder P - 2 = 0. Also ist P entweder gleich 0, oder gleich 2. Also ist P entweder gleich 0, oder gleich 2. Also ist P entweder gleich 0, oder gleich 2. Also ist P entweder gleich 0, oder gleich 2. Nun sind wir noch nicht fertig, da wir nicht nach P, sondern nach X auflösen sollen. da wir nicht nach P, sondern nach X auflösen sollen. Wir wissen, dass P =2x - 3 Wir wissen, dass P =2x - 3 Wir können daher sagen, 2x - 3 muss gleich 0 oder gleich 2 sein. Wir können daher sagen, 2x - 3 muss gleich 0 oder gleich 2 sein. 2x -3 muss also den Wert des einen, oder des anderen P-Wertes annehmen. 2x -3 muss also den Wert des einen, oder des anderen P-Wertes annehmen. Das ist ohne große Umstände zu lösen. Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung 3, Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung 3, und erhalten hier 2x = 3, nun teilen wir noch beide Seiten durch 2, und erhalten hier 2x = 3, nun teilen wir noch beide Seiten durch 2, und erhalten X = 3/2. In gleicher Weise gehen wir dort vor, mit +3 erhalten wir 2x = 5, 2x = 5 teilen wir auf beiden Seiten durch 2, 2x = 5 teilen wir auf beiden Seiten durch 2, und erhalten X = 5/2. Das sind also die möglichen Lösungen. Das ist wirklich sehr praktisch, Du hättest das sogar fast ganz im Kopf rechnen können. Du hättest das sogar fast ganz im Kopf rechnen können. Auf diesem Weg ging das sehr einfach. Wenn du wie sonst zunächst das Quadrat ausfaktorisiert, und dann weiter umgeformt hättest, Wenn du wie sonst zunächst das Quadrat ausfaktorisiert, und dann weiter umgeformt hättest, wäre der Rechenweg viel komplexer geworden. wäre der Rechenweg viel komplexer geworden. Natürlich kommt man darüber auch zur richtigen Antwort, aber mit viel mehr Rechenschritten. Es geht um das Erkennen von Mustern in den Ausgangsgleichungen. Es geht um das Erkennen von Mustern in den Ausgangsgleichungen. Hier hatten wir etwas zum Quadrat, das gleich diesem etwas mal zwei entsprach. Hier hatten wir etwas zum Quadrat, das gleich diesem etwas mal zwei entsprach. Das Muster auf beiden Seiten der Gleichung war in unserem Fall 2x - 3.