Lerne, wie man quadratische Gleichungen wie (x-1)(x+3) = 0 und Faktorisierung verwendet, um andere Formen von Gleichungen zu lösen.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Was du in dieser Lektion lernst

Bisher hast du lineare Gleichungen gelöst, die konstante Terme (einfache Zahlen) enthalten und Terme, in denen die Variable in der ersten Potenz angegeben wird, (x1=x)(x^1=x).
Du hast möglicherweise schon quadratische Gleichungen gelöst, welche Variablen in der zweiten Potenz enthalten, indem du die Quadratwurzel von beiden Seiten gezogen hast.
In dieser Lektion lernst du eine neue Art, quadratische Gleichungen zu lösen. Der Fokus wird auf folgendes gelegt,
  • Wie man in Faktoren zerlegte Gleichungen wie (x1)(x+3)=0(x-1)(x+3)=0 löst, und
  • Wie man Ausklammerungs-Methoden verwendet, um andere Gleichungen (( wie x23X10=0)x ^ 2-3 X-10=0) in eine faktorisierte Form zu bringen und sie zu lösen.

Lösen von in Faktoren zerlegten quadratischen Gleichungen

Angenommen, wir werden gefragt die quadratische Gleichung (x1)(X+3)=0(x-1)(X + 3) = 0 zu lösen.
Dies ist ein Produkt von zwei Termen, das gleich null ist. Beachte dass jeder xx-Wert, der entweder (x1)(x-1) oder (X+3) (X + 3) 0 (null) ergibt, das Produkt zu null macht.
(x1)(x+3)=0x1=0x+3=0x=1x=3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
Das Ersetzen von entweder x=1x = 1 oder x=3x = 3 in die Gleichung ergibt die wahre Aussage 0=00 = 0, so dass sie beide Lösungen der Gleichung sind.
Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.

Eine Frage zum Nachdenken

Eine Notiz über die Null-Produkt Eigenschaft

Woher wissen wir, dass es keine weitere Lösungen gibt, als die beiden. die wir mit unserer Methode finden?
Die Antwort wird durch eine einfache, aber sehr nützliche Eigenschaft, namens Null-Produkteigenschaft bereitgestellt:
Wenn das Produkt von zwei Größen gleich Null ist, dann muss zumindest eine dieser gleich Null sein.
Ersetzen von xx-Werten mit Ausnahme unserer Lösung ergibt ein Produkt von zwei Zahlen ungleich null, was bedeutet, dass das Produkt sicherlich nicht Null ist. Daher wissen wir, dass unsere Lösungen die einzigen möglichen sind.

Lösen durch ausklammern

Angenommen, wir möchten die Gleichung x23x10=0x^2-3x-10=0 lösen, dann ist alles, was wir tun müssen, das ausklammern von x23x10x^2-3x-10 und es zu lösen wie zuvor!
x23x10x^2-3x-10 kann in Faktoren zerlegt werden als (x+2)(x5)(x+2)(x-5).
Die komplette Lösung der Gleichung würde wie folgt gehen:
x23x10=0(x+2)(x5)=0Teiler.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Teiler.}\end{aligned}
x+2=0x5=0x=2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
Nun musst du ein paar Gleichungen auf eigene Faust zu lösen. Denk daran, das die verschiedenen Gleichungen verschiedene Faktorisierungs-Methoden benötigen.

Löse x2+5x=0x^2+5x=0.

Löse x211x+28=0x^2-11x+28=0.

Löse 4x2+4x+1=04x^2+4x+1=0.

Löse 3x2+11x4=03x^2+11x-4=0.

Anordnen der Gleichung vor dem Ausklammern

Eine der Seiten muss Null sein.

So geht die Lösung der Gleichung x2+2x=40xx^2+2x=40-x:
x2+2x=40xx2+2x40+x=0Subtrahiert 40 und addiert xx2+3x40=0Fasse gleichartige Terme zusammen(x+8)(x5)=0Faktor\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Subtrahiert 40 und addiert }x\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Fasse gleichartige Terme zusammen}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Faktor}\end{aligned}
x+8=0x5=0x=8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
Bevor wir ausklammern, formen wir die Gleichung um, so dass alle Terme auf der gleichen Seite sind, und die andere Seite null ist. Erst dann können wir ausklammern und unsere Lösungs-Methode verwenden.

Entfernen gemeinsamer Faktoren

So geht die Lösung der Gleichung 2x212x+18=02x^2-12x+18=0:
2x212x+18=0x26x+9=0Dividiert durch 2.(x3)2=0Faktor.x3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Dividiert durch 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Faktor.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Alle Therme hatten zuvor den Faktor 22 gemeinsam, also haben wir beide Seiten durch 22 geteilt - Die Seite mit der Null bleibt Null - wodurch das faktorisieren einfacher wurde.
Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.
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