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Quadratische Terme durch Faktorisieren lösen: Führender Koeffizient ≠ 1

Video-Transkript

Wir haben die Gleichung 6 x² - 120 x + 600 = 0. Wir haben die Gleichung 6 x² - 120 x + 600 = 0. Wie immer solltest du jetzt das Video anhalten und versuchen, die Werte für x zu finden, welche die Gleichung erfüllen. und versuchen, die Werte für x zu finden, welche die Gleichung erfüllen. Ok, lasst uns das Problem gemeinsam lösen. Die Zahlen scheinen nicht sonderbar kompliziert zu sein. Sie sehen so aus, als ob wir sie vielleicht ausklammern können. Sie sehen so aus, als ob wir sie vielleicht ausklammern können. Zunächst einmal benötigen wir hier einen Koeffizienten von 1 beim Term zweiten Grades, Zunächst einmal benötigen wir hier einen Koeffizienten von 1 beim Term zweiten Grades, dem x²-Term. Anscheinend sind alle Terme hier durch 6 teilbar. Anscheinend sind alle Terme hier durch 6 teilbar. Wenn wir also beide Seiten der Gleichung durch 6 teilen, habe ich noch immer ganzzahlige Koeffizienten. Wenn wir also beide Seiten der Gleichung durch 6 teilen, habe ich noch immer ganzzahlige Koeffizienten. Gesagt, getan. Dividieren wir beide Seiten durch 6. Wit teilen also links durch 6... Wit teilen also links durch 6... Und die rechte Seite dividiere ich ebenfalls durch 6. Wenn ich das auf beiden Seiten der Gleichung mache, bleibt die Gleichung immer noch gültig. Wenn ich das auf beiden Seiten der Gleichung mache, bleibt die Gleichung immer noch gültig. Wenn ich das auf beiden Seiten der Gleichung mache, bleibt die Gleichung immer noch gültig. Links bleibt stehen: x², 120/6 ist 20, also minus 20x, und 600 geteilt durch 6 ist 100. Links bleibt stehen: x², 120/6 ist 20, also minus 20x, und 600 geteilt durch 6 ist 100. Links bleibt stehen: x², 120/6 ist 20, also minus 20x, und 600 geteilt durch 6 ist 100. Links bleibt stehen: x², 120/6 ist 20, also minus 20x, und 600 geteilt durch 6 ist 100. Links bleibt stehen: x², 120/6 ist 20, also minus 20x, und 600 geteilt durch 6 ist 100. Links bleibt stehen: x², 120/6 ist 20, also minus 20x, und 600 geteilt durch 6 ist 100. Also x² minus 20x plus 100 gleich 0. Also x² minus 20x plus 100 gleich 0. Sehen wir, ob wir durch Faktorisierung dieses Quadrat als Produkt zweier Ausdrücke darstellen können. Sehen wir, ob wir durch Faktorisierung dieses Quadrat als Produkt zweier Ausdrücke darstellen können. Sehen wir, ob wir durch Faktorisierung dieses Quadrat als Produkt zweier Ausdrücke darstellen können. Betrachten wir diesen Sachverhalt zunächst unter Variablen: Betrachten wir diesen Sachverhalt zunächst unter Variablen: Wir haben (x plus a)(x plus b), dies nur als Wiederholung für euch. Wir haben (x plus a)(x plus b), dies nur als Wiederholung für euch. Beim Ausmultiplizieren erhalten wir dann: x² plus (a plus b)x plus ab. Beim Ausmultiplizieren erhalten wir dann: x² plus (a plus b)x plus ab. Beim Ausmultiplizieren erhalten wir dann: x² plus (a plus b)x plus ab. Das hier müssen wir also in ein x plus a und ein x plus b umformen. Das hier müssen wir also in ein x plus a und ein x plus b umformen. a plus b ist gleich -20. a plus b ist gleich -20. a mal b muss dann gleich dem konstanten Term sein. a mal b muss dann gleich dem konstanten Term sein. a mal b muss dann gleich dem konstanten Term sein. Gibt es zwei Zahlen, deren Produkt gleich +100 und deren Summe -20 ergibt? Gibt es zwei Zahlen, deren Produkt gleich +100 und deren Summe -20 ergibt? Gibt es zwei Zahlen, deren Produkt gleich +100 und deren Summe -20 ergibt? Dass ihr Produkt positiv ist, sagt uns dass beide dasselbe Vorzeichen besitzen. Dass ihr Produkt positiv ist, sagt uns dass beide dasselbe Vorzeichen besitzen. Dass ihr Produkt positiv ist, sagt uns dass beide dasselbe Vorzeichen besitzen. Beide sind entweder positiv oder negativ, da wir wissen, dass dessen Produkt positiv ist. Beide sind entweder positiv oder negativ, da wir wissen, dass dessen Produkt positiv ist. Beide sind entweder positiv oder negativ, da wir wissen, dass dessen Produkt positiv ist. Da ihre Summe positiv ist, müssen beide negativ sein. Da ihre Summe positiv ist, müssen beide negativ sein. Man kann nicht zwei positive Zahlen zu einer negativen Zahl addieren. Beide müssen also negativ sein. Denken wir darüber nach. Bei welchen negativen Zahlen erhalte ich bei Addition -20 und bei Multiplikation 100? Bei welchen negativen Zahlen erhalte ich bei Addition -20 und bei Multiplikation 100? Nun, man könnte versuchen, 100 zu faktorisieren. z.B. -2 mal -50 oder -4 mal -25. z.B. -2 mal -50 oder -4 mal -25. Aber die eindeutige Lösung, die euch ins Auge fällt, ist -10 mal -10. Aber die eindeutige Lösung, die euch ins Auge fällt, ist -10 mal -10. Aber die eindeutige Lösung, die euch ins Auge fällt, ist -10 mal -10. Und das ist -10 plus -10. In diesem Fall also sind unser a und b jeweils -10. Und so kann ich diese linke Seite der Gleichung umschreiben als: Und so kann ich diese linke Seite der Gleichung umschreiben als: Und so kann ich diese linke Seite der Gleichung umschreiben als: (x plus -10) mal (x plus -10) (x plus -10) mal (x plus -10) (x plus -10) mal (x plus -10) (x plus -10) mal (x plus -10) Und das ist dann gleich 0. Alles was ich gemacht habe, ist dieses Quadrat zu faktorisieren. Ich kann das hier auch umschreiben als: (x minus 10)² ist gleich 0. Ich kann das hier auch umschreiben als: (x minus 10)² ist gleich 0. Ich kann das hier auch umschreiben als: (x minus 10)² ist gleich 0. Der einzige Weg, um die linke Seite auf 0 zu bringen, ist, wenn x minus 10 gleich 0 ist. Der einzige Weg, um die linke Seite auf 0 zu bringen, ist, wenn x minus 10 gleich 0 ist. Der einzige Weg, um die linke Seite auf 0 zu bringen, ist, wenn x minus 10 gleich 0 ist. Man kann es als Wurzelziehen beider Seiten betrachten. Man kann es als Wurzelziehen beider Seiten betrachten. Es ist nicht relevant, ob du die positive oder negative Wurzel ziehst, oder beide. Es ist nicht relevant, ob du die positive oder negative Wurzel ziehst, oder beide. DIe Wurzel von 0 ist 0. x minus 10 ist gleich 0. Beim Addieren von 10 erhalten wir dann x gleich 10, und das ist die Lösung zur Quadratischen Gleichung. Beim Addieren von 10 erhalten wir dann x gleich 10, und das ist die Lösung zur Quadratischen Gleichung. Beim Addieren von 10 erhalten wir dann x gleich 10, und das ist die Lösung zur Quadratischen Gleichung.