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Die Höhe eines Dreiecks ist vier Zoll weniger als die Länge der Basis. Die Höhe eines Dreiecks ist vier Zoll weniger als die Länge der Basis. Das Dreieck hat eine Fläche von 30 Quadratzoll. Ermittle die Höhe h und Basis b. Nutze die Formel A = 1/2 b *h für die Dreiecksfläche. Nutze die Formel A = 1/2 b *h für die Dreiecksfläche. Schauen wir es uns mal an. Schauen wir es uns mal an. Hier haben wir unser Dreieck. Hier haben wir unser Dreieck. Die Länge der unteren Seite, der Basis, nennen wir "b". Die Länge der unteren Seite, der Basis, nennen wir "b". Und das hier ist die Höhe. Und das hier ist die Höhe. Die Fläche ist dann gleich 1/2 mal Basis mal Höhe. Die Fläche ist dann gleich 1/2 mal Basis mal Höhe. Hier im ersten Satz wird gesagt, dass die Höhe des Dreiecks 4 Zoll kürzer ist als dessen Basis. Hier im ersten Satz wird gesagt, dass die Höhe des Dreiecks 4 Zoll kürzer ist als die Basis. Hier im ersten Satz wird gesagt, dass die Höhe des Dreiecks 4 Zoll kürzer ist als die Basis. Die Höhe ist also Basis (b) minus 4. Das sagt uns der erste Satz. Die Dreiecksfläche beträgt 30 in². Multiplizieren wir halbe Basis mit der Höhe, erhalten wir 30 in². Multiplizieren wir halbe Basis mit der Höhe, erhalten wir 30 in². Andersherum kann man sagen: 30 in² ist dasselbe wie 1/2 mal Basis mal die Höhe. Wir wissen, dass die Höhe dasselbe ist wie b minus 4, also können wir dies anstelle von h für Höhe schreiben. Wir setzen also ein: 4 minus Basis. Nun erhalten wir: 30 ist gleich 1/2 mal - wir multiplizieren das b aus... Am besten so: mal b/2, mal b minus 4. Ich habe einfach 1/2 mit b multipliziert. Jetzt multiplizieren wir b/2 aus: 30 ist gleich b²/2 - b/2 mal b ist einfach b²/2. 30 ist gleich b²/2 - b/2 mal b ist einfach b²/2. 30 ist gleich b²/2 - b/2 mal b ist einfach b²/2. Um den Bruch loszuwerden, multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit 2. Um den Bruch loszuwerden, multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit 2. Die linke Seite mal 2 und die rechte ebenso. Die linke Seite mal 2 und die rechte ebenso. Links erhält man 60. Rechts 2 mal b²/2 ist einfach b². Rechts 2 mal b²/2 ist einfach b². -2b mal 2 ist -4b. Jetzt haben wir unser Quadrat. Um dieses nun zu lösen - wir haben eine quadratische Gleichung hier - müssen alle Terme auf eine Seite der Gleichung gebracht werden, also gleich 0 sein. Subtrahieren wir also beiderseitig 60. Und wir erhalten: 0 ist gleich b² minus 4b minus 60. Das hier müssen wir nun faktorisieren. Das hier müssen wir nun faktorisieren. Wenn ein Produkt aus mehreren Zahlen 0 ergibt, so muss mindestens eine der Zahlen gleich 0 sein. Wenn ein Produkt aus mehreren Zahlen 0 ergibt, so muss mindestens eine der Zahlen 0 sein. Wenn ein Produkt aus mehreren Zahlen 0 ergibt, so muss mindestens eine der Zahlen gleich 0 sein. Wir müssen also b² minus 4b minus 60 faktorisieren. Wir suchen zunächst zwei Zahlen, dessen Summe -4 und dessen Produkt -60 ergeben. Wir suchen zunächst zwei Zahlen, dessen Summe -4 und dessen Produkt -60 ergeben. Da das Produkt negativ ist, wissen wir also, dass dessen Absolutwerte um 4 verschieden sind. Da das Produkt negativ ist, wissen wir also, dass dessen Absolutwerte um 4 verschieden sind. Da das Produkt negativ ist, wissen wir also, dass dessen Absolutwerte um 4 verschieden sind. Da das Produkt negativ ist, wissen wir also, dass dessen Absolutwerte um 4 verschieden sind. Eine ist 4 weniger als die andere. Betrachten wir die Produkte der Faktoren von 60. 1 und 60 sind zu weit auseinander. Selbst wenn man eine negativ macht, erhielte man als Summe entweder 59 oder -59. Selbst wenn man eine negativ macht, erhielte man als Summe entweder 59 oder -59. Selbst wenn man eine negativ macht, erhielte man als Summe entweder +59 oder -59. 2 und 30 sind ebenfalls noch zu weit auseinander. 2 und 30 sind ebenfalls noch zu weit auseinander. Bei einer negativen erhält man entweder -17 oder +17. Bei einer negativen erhält man entweder -17 oder +17. 4 und 15, immer noch zuweit auseinander. Bei einer negativen wären deren Summe -11 bzw. +11. Bei einer negativen wären deren Summe -11 bzw. +11. Dann 5 und 12, ebenfalls zu weit auseinander. Dann 5 und 12, ebenfalls zu weit auseinander. Bei einer negativen ist deren Summe entweder +7 oder -7. Bei einer negativen ist deren Summe entweder +7 oder -7. 6 und 10, nun das sieht interessant ist. 6 und 10, nun das sieht interessant ist. Sie sind um 4 verschieden. Wir wollen, dass die größere Absolutgröße negativ ist, also, dass deren Summe negativ ist. Wir wollen, dass die größere Absolutgröße negativ ist, also, dass deren Summe negativ ist. Bei 6 und -10 wäre deren Summe -4 und deren Produkt -60. Bei 6 und -10 wäre deren Summe -4 und deren Produkt -60. Bei 6 und -10 wäre deren Summe -4 und deren Produkt -60. Das funktioniert also. Man kann also schlicht sagen, dass das hier gleich (b plus 6) mal (b minus 10) ist. Man kann also schlicht sagen, dass das hier gleich (b plus 6) mal (b minus 10) ist. (b plus a) mal (b minus b). Aufgepasst: Dieses b hier in rot ist nicht dasselbe b wie das, welches wir in der Gleichung verwenden. Aufgepasst: Dieses b hier in rot ist nicht dasselbe b wie das, welches wir in der Gleichung verwenden. Aufgepasst: Dieses b hier in rot ist nicht dasselbe b wie das, welches wir in der Gleichung verwenden. Hier habe ich das b nur dazu verwendet, um herauszufinden, welche zwei Zahlen in Summe zu diesem zweiten Term hier führen. zu diesem zweiten Term hier führen. Das ist ein anderes b. Ich hätte sagen können: x plus y ist -4 und x mal y ist gleich -60. Ich hätte sagen können: x plus y ist -4 und x mal y ist gleich -60. Machen wir es doch gleich so, um nicht durcheinander zu kommen. Wir können also schreiben: x plus y ist gleich -4. Dann haben wir x mal y ist gleich -60. Also haben wir (b plus 6) mal (b plus y). x ist 6, y ist -10. Und das ist gleich 0. Lösen wir das gleich hier. Dann können wir zurückgehen und zeigen, dass man dies ebenso durch Gruppierung faktorisieren kann. Allein hiervon wissen wir, dass eine dieser gleich 0 ist. Allein hiervon wissen wir, dass eine dieser gleich 0 ist. Entweder b plus 6 ist gleich 0 oder b minus 10 ist gleich 0. Subtrahieren wir 6 von beiden Seiten dieser Gleichung, erhalten wir: b ist gleich -6. Subtrahieren wir 6 von beiden Seiten dieser Gleichung, erhalten wir: b ist gleich -6. Addieren wir 10 auf beiden Seiten der Gleichung, erhalten wir: b ist gleich 10. Addieren wir 10 auf beiden Seiten der Gleichung, erhalten wir: b ist gleich 10. Diese beiden sind dann unsere Lösungen. Man kann sie oben einsetzen und prüfen, ob sie die Bedingungen erfüllen. Man kann sie oben einsetzen und prüfen, ob sie die Bedingungen erfüllen. Ein anderer Weg, um das hier zu lösen, wobei wir die exakt gleiche Lösung erhalten, ist, Ein anderer Weg, um das hier zu lösen, wobei wir die exakt gleiche Lösung erhalten, ist, diese -4b einfach in ihre Bestandteile aufzuteilen. diese -4b einfach in ihre Bestandteile aufzuteilen. Das hier kann man aufteilen in: 0 ist gleich b². Dann anschließend plus 6b minus 10b minus 60. Das hier kann man aufteilen in: 0 ist gleich b². Dann anschließend plus 6b minus 10b minus 60. Das hier kann man aufteilen in: 0 ist gleich b². Dann anschließend plus 6b minus 10b minus 60. Dann faktorisieren durch Gruppierung. Wir gruppieren diese ersten beiden Terme und diese zweiten beiden Terme. Wir gruppieren diese ersten beiden Terme und diese zweiten beiden Terme. Wir addieren beide. Beim ersten kann man b faktorisieren. Also hat man b mal b, plus 6. Beim zweiten kann man -10 faktorisieren. Also -10 mal (b plus 6). All das gleich 0. Und nun kann man b plus 6 faktorisieren. Wenn man also b plus 6 hier faktorisiert, erhält man: 0 ist gleich (b minus 10) mal (b plus 6). Wenn man also b plus 6 hier faktorisiert, erhält man: 0 ist gleich (b minus 10) mal (b plus 6). Wir faktorisieren im Prinzip diesen Ausdruck hier. Es bleibt lediglich b minus 10 übrig. Wir erhalten dasselbe, was wir im Schritt vorher gemacht haben. Was einem besser gefällt. Aber unabhängig davon, die Lösungen sind entweder b ist gleich -6 oder b ist gleich 10. Aber unabhängig davon, die Lösungen sind entweder b ist gleich -6 oder b ist gleich 10. Aufgepasst! Hier wieder ein Ausdruck-Problem. Wir können nicht einfach sagen, dass b gleich -6 oder 10 ist. Wir müssen uns darüber Gedanken machen, b dies hier im Zusammenhang mit dem eigentlichen Problem Sinn ergibt. Wir sprechen über Längen von Dreiecken bzw. Längen von Dreiecksseiten. Wir sprechen über Längen von Dreiecken bzw. Längen von Dreiecksseiten. Wir können keine negativen Längen haben. Daher kann die Basis eines Dreiecks keine Länge von -6 haben. Daher kann die Basis eines Dreiecks keine Länge von -6 haben. Das können wir also streichen. Wir haben also nur eine wirkliche Lösung hier. Fast vergessen:Wir haben hier ja ein Ausdrucksproblem. Fast vergessen: Wir haben hier ja ein Ausdrucksproblem. Die einzige mögliche Basis ist 10. Also, man muss die Höhe und die Basis ermitteln. Das ist jetzt sehr einfach. Fast vergessen: Wir haben hier ja ein Ausdrucksproblem. Fast vergessen: Wir haben hier ja ein Ausdrucksproblem. Es ist b minus 4. Die Höhe ist also 6. Dann kann man nachprüfen: Die Fläche beträgt 6 mal 10 mal 1/2, also 30. Dann kann man nachprüfen: Die Fläche beträgt 6 mal 10 mal 1/2, also 30.