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"Das Volumen einer Kiste ist 405 Kubik-Einheiten." "Das Volumen einer Kiste ist 405 Kubik-Einheiten." Hier steht Kubik-Einheiten. Wahrscheinlich wollen die das allgemein halten. Es könnten Kubikmeter, oder Kubikkilometer, oder Kubizentimer oder irgend etwas anderes sein. Wer weiß? Die wollen das einfach als Einheiten nehmen, um es so allgemein wie möglich zu halten. Die wollen das einfach als Einheiten nehmen, um es so allgemein wie möglich zu halten. "Die Länge ist x Einheiten lang, die Breite x plus 4 Einheiten weit und die Höhe 9 Einheiten hoch." "Die Länge beträgt x Einheiten, die Breite x plus 4 Einheiten und die Höhe 9 Einheiten." Lass mich diese Kiste hier malen. Lass mich diese Kiste hier malen. Dadurch haben wir eine kleine Visualisierung. Dadurch haben wir eine kleine Visualisierung. Wir wissen, dass die Läge x ist. Lass uns das hier als Länge nehmen. Gegeben ist die Breite x plus 4 und die Höhe 9. Gegeben ist die Breite x plus 4 und die Höhe 9. Was sind die Dimensionen der Kiste in Einheiten? Wir wissen auch noch, dass das Volumen 405 beträgt. Lass mich das so darstellen Wenn wir nun das Volumen kalkulieren wollten, was wäre das? Das wäre die Breite, also x plus 4 mal die Länge - also mal x - mal 9. Das wäre die Tiefe, also x plus 4 mal die Länge - also mal x - mal 9. Das wäre die Tiefe, also x plus 4 mal die Länge - also mal x - mal 9. Das ist das Volumen der Kiste. Wir wissen auch, dass das Volumen 405 Kubik-Einheiten beträgt. Wir wissen auch, dass das Volumen 405 Kubik-Einheiten beträgt. Jetzt müssen wir nur nach x auflösen. Was haben wir hier? Wir lösen die Klammer auf, indem wir beides mit 9x multiplizieren. Anders ausgedrückt: Wir distribuieren 9x in die x plus 4. Lass mich das schreiben. Das ist das Gleiche wie 9x mal x plus 4 und das alles gleich 405. Das ist das gleiche wie 9x mal x plus 4 und das alles gleich 405. 9x mal x ist gleich 9x zum Quadrat. 9x mal 4 ist gleich 36x, das Ganze ist gleich 405. Wir möchten nun, dass dieser quadratische Ausdruck gleich 0 ist. Also subtrahieren wir 405 von beiden Seiten der Gleichung. Wenn Du das machst, ist der Ausdruck auf der rechten Seite = 0 und auf der linken Seite ergibt sich 9x plus 36x minus 405. Hier gibt einen gemeinsamen Teiler in diesen Zahlen, richtig? Hier gibt einen gemeinsamen Teiler in diesen Zahlen, richtig? Also: 405: 4 + 0 + 5 = 9. Neun ist teilbar durch 9. Alle diese Zahlen sind durch 9 teilbar. Lass uns herausfinden, was 405 geteilt durch 9 ist. Die 9 geht wie oft in die 405? 9 passt 4 mal in die 40. 4 mal 9 ist 36. Das abgezogen ergibt 45. Die 9 passt 5 mal in die 45. 5 mal 9 = 45. Zieh das ab und du erhältst 0. Die 9 passt also 45 mal in die 405. Wenn wir die 9 faktorisieren, erhalten wir 9 mal x zum Quadrat. Noch besser: Du musst gar nicht die 9 faktorisieren. Noch besser: Du musst gar nicht die 9 faktorisieren. Du kannst einfach beide Seiten der Gleichung durch 9 teilen! Du kannst einfach beide Seiten der Gleichung durch 9 teilen! Wenn du alle Terme durch 9 teilst, ändert das nicht die Gleichung. Wenn du alle Terme durch 9 teilst, ändert das nicht die Gleichung. Du machst das Gleiche auf beiden Seiten der Gleichung. Das haben wir vor langer Zeit gelernt. Hier erhältst du also x zum Quadrat. Wenn du nur diesen Ausdruck gehabt hättest, dann hättest du die 9 faktorisieren müssen. dann hättest du die 9 faktorisieren müssen. Weil wir hier aber eine Gleichung haben, können wir einfach durch 9 teilen. Weil wir hier aber eine Gleichung haben, können wir einfach durch 9 teilen. Das vereinfacht das Ganze. Du hast also x zum Quadrat plus 4x minus 45 gleich 0. Jetzt können wir faktorisieren. Und dies passt bereits. Wir haben keine führende 1. Und dies passt bereits. Wir haben keine führende 1. Wir müssen also noch nicht einmal gruppieren. Wir müssen uns nur überlegen: Welche 2 Zahlen ergeben multipliziert -45 und addiert plus 4? Wir müssen uns nur überlegen: Welche 2 Zahlen ergeben multipliziert -45 und addiert plus 4? Wir müssen uns nur überlegen: Welche 2 Zahlen ergeben multipliziert -45 und addiert plus 4? Sie sind 4 auseinander. Eine Zahl muss positiv sein und eine muss negativ sein. Die positiven Versionen sind 4 auseinander. Wenn du sie addierst, berechnest Du eigentlich die Differenz, weil eine negativ ist. Wenn du sie addierst, berechnest Du eigentlich die Differenz, weil eine negativ ist. Lass uns darüber nachdenken. Wenn Du eine plus 9 und eine -5 hast... das funktioniert! Richtig? Plus 9 plus -5 ergibt 4. Wenn Du das multiplizierst, erhältst du -45. Du hast also x plus 9 mal x minus 5 = 0. Wir haben das faktorisiert. Das haben wir vorher schon einmal gesehen. Wenn du zwei Zahlen hast und Multiplikation zu 0 führt, dann muss eine der Zahlen 0 sein, dann muss eine der Zahlen 0 sein, Das bedeutet: x plus 9 ist gleich 0, oder x minus 5 ist gleich 0. Das bedeutet: x plus 9 ist gleich 0, oder x minus 5 ist gleich 0. Das bedeutet: x plus 9 ist gleich 0, oder x minus 5 ist gleich 0. Wenn wir 9 von dieser Gleich abziehen, erhalten wir x ist gleich -9; Wenn wir 9 von dieser Gleich abziehen, erhalten wir x ist gleich -9; Wenn wir 5 auf beiden Seiten addieren erhalten wir x ist gleich 5. Beides sind mögliche Lösungen. Zurück zur Kiste. Wenn x gleich -9 ist.... nun, das funktioniert nicht. Du bekämst eine Brite von -5, eine Länge von -9 und eine Höhe von 9. Du bekämst eine Brite von -5, eine Länge von -9 und eine Höhe von 9. Du bekämst eine Brite von -5, eine Länge von -9 und eine Höhe von 9. Zumindest in unserer Realität gibt es keine Minus-Strecken. Zumindest in unserer Realität gibt es keine Minus-Strecken. Eine Minus-Zahl kann also nicht die Länge oder Breite sein. x gleich 9 ist also nicht die Lösung für dieses Problem. In diesem Problem brauchen wir nämlich positive Dimensionen. In diesem Problem brauchen wir nämlich positive Dimensionen. Mal schaun, was passiert, wenn wir x=5 haben. Bei x = 5 ist x plus 4 = 9 und diese Dimension hier ist gleich 5. Bei x = 5 ist x plus 4 = 9 und diese Dimension hier ist gleich 5. Und das sieht nach einer vernünftigen Realität aus. Lass uns das überprüfen, ob es wirklich 405 ergibt. Lass uns das überprüfen, ob es wirklich 405 ergibt. 9 mal 5 ist 45. Das mal 9 ergibt tatsächlich 405. Wir hatten vorhin schon gesehen, dass 45 mal 9 genau 405 ergibt. Damit sind wir fertig! Damit sind wir fertig!