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Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 15

Lektion 9: Quadratische Terme faktorisieren
Mathematik
Algebra 1
Faktorisierung
Quadratische Terme faktorisieren
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Quadratische Terme faktorisieren

Google Classroom
Lerne wie du quadratische Terme faktorisierst, die eine "quadratische" Form haben. Schreibe zum Beispiel x²+6x+9 as (x+3)².
Das Faktorisieren eines Polynoms bedeutet, es als ein Produkt von zwei oder mehr Polynomen zu schreiben. Es kehrt den Prozess der Multiplikation von Polynomen um.
In diesem Artikel lernen wir wie quadratische Trinome faktorisiert werden, indem wir spezielle Verfahren anwenden. Dies kehrt den Prozess des Quadrieren von Binomen um, daher willst du das sicherlich vollständig verstehen um weiterzumachen.

Einführung: Faktorisierung von quadratischen Trinomen (Binomische Formeln)

Um ein Binom auszumultiplizieren, können wir eine der folgenden Verfahren anwenden, die wir auch als 1. und 2. Binomische Formel kennen.
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Beachte, dass bei diesen Verfahren a und b ein beliebiger algebraischer Ausdruck sein kann. Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollen left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared ausmultiplizieren. In diesem Fall ist start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd und start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, und so erhalten wir:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Du kannst dieses Verfahren durch Multiplizieren prüfen, indem du left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared ausmultiplizierst.
Die Umkehrung dieses Ausmultiplizieren-Prozesses ist eine Form von Faktorisieren. Wenn wir die Gleichungen in der umgekehrten Richtung umschreiben, haben wir Verfahren (nämlich die 1. und 2. Binomische Formel) um Polynome der Form a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared zu faktorisieren,
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Wir können hier das erste Verfahren (1. Binomische Formel) anwenden um x, squared, plus, 10, x, plus, 25 zu faktorisieren. Hier haben wir start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd und start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Ausdrücke dieser Form werden Quadratische Trinome genannt. Der Name stellt die Tatsache dar, dass diese Art von Polynomen mit drei Termen als Quadrate ausgedrückt werden können!
Wir sehen uns ein paar Beispiele an, bei denen wir quadratische Trinome mit diesem Verfahren faktorisieren.

Beispiel 1: x, squared, plus, 8, x, plus, 16 faktorisieren

Beachte das sowohl der erste als auch der letzte Term Quadrate sind: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared und 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Beachte zusätzlich, dass der mittlere Term zweimal dem Produkt der Zahlen entspricht, die quadriert sind: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Dies sagt uns, dass das Polynom ein quadratisches Trinom ist und so können wir das folgende Faktorisierungsverfahren (1. Binomische Formel) anwenden.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
In unserem Fall start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd und start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Wir können unser Polynom wie folgt faktorisieren:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Wir können unser Ergebnis durch Ausmultiplizieren von left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared prüfen:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

Überprüfe dein Verständnis

1) Faktorisiere x, squared, plus, 6, x, plus, 9.
Wähle eine Lösung.

2) Faktorisiere x, squared, minus, 6, x, plus, 9.
Wähle eine Lösung.

3) Faktorisiere x, squared, plus, 14, x, plus, 49.

Beispiel 2: 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 faktorisieren

Es ist nicht notwendig, dass der führende Koeffizient eines quadratischen Trinoms 1 sein muss.
Beachte zum Beispiel, dass bei 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 sowohl der erste als auch der letzte Term Quadrate sind: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared und 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Beachte zusätzlich, dass der mittlere Term zweimal dem Produkt der Zahlen entspricht, die quadriert sind: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Weil dies die oben genannte Bedingung erfüllt, ist 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 auch ein quadratisches Trinom. Wir können wieder das folgende Faktorisieren-Verfahren anwenden.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
In diesem Fall ist start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd und start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. Die Polynome werden wie folgt faktorisiert:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Wir können unser Ergebnis durch Ausmultiplizieren von left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared prüfen:

Prüfe dein Verständnis

4) Faktorisiere 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25.
Wähle eine Lösung.

5) Faktorisiere 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25.

Challenge Aufgaben

6*) Faktorisiere x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1.

7*) Faktorisiere 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared.

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