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Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 15

Lektion 9: Quadratische Terme faktorisieren

Quadratische Terme faktorisieren

Lerne wie du quadratische Terme faktorisierst, die eine "quadratische" Form haben. Schreibe zum Beispiel x²+6x+9 as (x+3)².

Das Faktorisieren eines Polynoms bedeutet, es als ein Produkt von zwei oder mehr Polynomen zu schreiben. Es kehrt den Prozess der Multiplikation von Polynomen um.

In diesem Artikel lernen wir wie quadratische Trinome faktorisiert werden, indem wir spezielle Verfahren anwenden. Dies kehrt den Prozess des Quadrieren von Binomen um, daher willst du das sicherlich vollständig verstehen um weiterzumachen.

Einführung: Faktorisierung von quadratischen Trinomen (Binomische Formeln)

Um ein Binom auszumultiplizieren, können wir eine der folgenden Verfahren anwenden, die wir auch als 1. und 2. Binomische Formel kennen.

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ‍
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ‍

Beachte, dass bei diesen Verfahren

a

und

b

ein beliebiger algebraischer Ausdruck sein kann. Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollen

(x + 5)^{2}

ausmultiplizieren. In diesem Fall ist

a = x

und

b = 5

, und so erhalten wir:

$\begin{aligned} (x + 5)^{2} & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = x^{2} + 10 x + 25 \end{aligned}$ ‍

Du kannst dieses Verfahren durch Multiplizieren prüfen, indem du

(x + 5)^{2}

ausmultiplizierst.

Die Umkehrung dieses Ausmultiplizieren-Prozesses ist eine Form von Faktorisieren. Wenn wir die Gleichungen in der umgekehrten Richtung umschreiben, haben wir Verfahren (nämlich die 1. und 2. Binomische Formel) um Polynome der Form

a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

zu faktorisieren,

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ‍

Wir können hier das erste Verfahren (1. Binomische Formel) anwenden um

x^{2} + 10 x + 25

zu faktorisieren. Hier haben wir

a = x

und

b = 5

$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍

Ausdrücke dieser Form werden Quadratische Trinome genannt. Der Name stellt die Tatsache dar, dass diese Art von Polynomen mit drei Termen als Quadrate ausgedrückt werden können!

Wir sehen uns ein paar Beispiele an, bei denen wir quadratische Trinome mit diesem Verfahren faktorisieren.

Beispiel 1: $x^{2} + 8 x + 16$ ‍ faktorisieren

Beachte das sowohl der erste als auch der letzte Term Quadrate sind:

x^{2} = (x)^{2}

und

16 = (4)^{2}

. Beachte zusätzlich, dass der mittlere Term zweimal dem Produkt der Zahlen entspricht, die quadriert sind:

2 (x) (4) = 8 x

Dies sagt uns, dass das Polynom ein quadratisches Trinom ist und so können wir das folgende Faktorisierungsverfahren (1. Binomische Formel) anwenden.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

In unserem Fall

a = x

und

b = 4

. Wir können unser Polynom wie folgt faktorisieren:

\begin{aligned} x^{2} + 8 x + 16 & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = (x + 4)^{2} \end{aligned}

Wir können unser Ergebnis durch Ausmultiplizieren von

(x + 4)^{2}

prüfen:

\begin{aligned} (x + 4)^{2} & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = x^{2} + 8 x + 16 \end{aligned}

Überprüfe dein Verständnis

1) Faktorisiere $x^{2} + 6 x + 9$ ‍.

2) Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 9$ ‍.

Beachte das sowohl die ersten als auch die letzten Terme Quadrate sind:

x^{2} = (x)^{2}

und

9 = (3)^{2}

. Beachte zusätzlich, dass der mittlere Term zweimal dem Produkt der Zahlen ist, die quadriert sind:

2 (x) (3) = 6 x

Dies bedeutet, dass das Polynom ein quadratisches Trinom ist. Wir können es wie folgt faktorisieren:

\begin{aligned} x^{2} - 6 x + 9 & = (x)^{2} - 2 (x) (3) + (3)^{2} \\ = (x - 3)^{2} \end{aligned}

Beachte, dass das Vorzeichen im Binom negativ ist, da der Koeffizient des

x

-Terms negativ ist.

3) Faktorisiere $x^{2} + 14 x + 49$ ‍.

Beispiel 2: $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍ faktorisieren

Es ist nicht notwendig, dass der führende Koeffizient eines quadratischen Trinoms

1

sein muss.

Beachte zum Beispiel, dass bei

4 x^{2} + 12 x + 9

sowohl der erste als auch der letzte Term Quadrate sind:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

und

9 = (3)^{2}

. Beachte zusätzlich, dass der mittlere Term zweimal dem Produkt der Zahlen entspricht, die quadriert sind:

2 (2 x) (3) = 12 x

Weil dies die oben genannte Bedingung erfüllt, ist

4 x^{2} + 12 x + 9

auch ein quadratisches Trinom. Wir können wieder das folgende Faktorisieren-Verfahren anwenden.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

In diesem Fall ist

a = 2 x

und

b = 3

. Die Polynome werden wie folgt faktorisiert:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 & = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Wir können unser Ergebnis durch Ausmultiplizieren von

(2 x + 3)^{2}

prüfen:

Ja! Wir können auch

4 x^{2} + 12 x + 9

mit der Gruppierungsmethode faktorisieren.

Wir wollen diesen Prozess beginnen, indem wir Faktoren von

4 \cdot 9 = 36

finden, die addiert

12

ergeben. Diese zwei Zahlen sind

6

und

6

, da

6 \cdot 6 = 36

und

6 + 6 = 12

Wir können nun den Term

12 x

6 x + 6 x

aufteilen und das Gruppieren anwenden, um das Polynom zu faktorisieren:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (6 x + 9) & Terme gruppieren \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & ggT ausklammern \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & Gemeinsamer Faktor! \\ = (2 x + 3) (2 x + 3) & ausklammern von 2 x + 3 \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Beachte aber, dass wenn du

4 x^{2} + 12 x + 9

als quadratisches Trinom erkennst, du einige Zeit sparen kannst!

Prüfe dein Verständnis

4) Faktorisiere $9 x^{2} + 30 x + 25$ ‍.

5) Faktorisiere $4 x^{2} - 20 x + 25$ ‍.

Beachte das sowohl die ersten als auch die letzten Terme Quadrate sind:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

und

25 = (5)^{2}

. Beachte zusätzlich, dass der mittlere Term zweimal dem Produkt der Zahlen ist, die quadriert sind:

2 (2 x) (5) = 20 x

Dies bedeutet, dass das Polynom ein quadratisches Trinom ist. Wir können es wie folgt faktorisieren:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 20 x + 25 & = (2 x)^{2} - 2 (2 x) (5) + (5)^{2} \\ = (2 x - 5)^{2} \end{aligned}

Beachte, dass das Vorzeichen im Binom negativ ist, da der Koeffizient des

x

-Terms negativ ist.

Challenge Aufgaben

6*) Faktorisiere $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ ‍.

7*) Faktorisiere $9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2}$ ‍.

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