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Polynome mit höherem Grad faktorisieren: Gemeinsamer Faktor

Video-Transkript

Nehmen wir an wir hätten das Polynom 16x^3 + 24x^2 + 9x. das Polynom 16x^3 + 24x^2 + 9x. das Polynom 16x^3 + 24x^2 + 9x. Ich würde mir wünschen, dass du das Video nun anhältst, Ich würde mir wünschen, dass du das Video nun anhältst, und versuchst das Polynom vollständig zu faktorisieren. Versuchen wir es jetzt gemeinsam. Was dir zunächst auffallen könnte ist, dass alle Terme durch x teilbar sind und wir ein x ausklammern können. Lass uns das machen und wenn wir nun diese Koeffizienten betrachten, scheint es, als hätten sie keinen gemeinsamen Teiler, abgesehen von eins. als hätten sie keinen gemeinsamen Teiler, abgesehen von eins. Scheinbar ist x das größte Monom, das wir ausklammern können. Scheinbar ist x das größte Monom, das wir ausklammern können. Machen wir das also und faktorisieren ein x heraus. Damit haben wir das hier x mal. Klammert man ein x von 16x^3 heraus bleibt 16x^2 und dann plus 24x und plus 9. Das fängt an interessant auszusehen, lass es mich umformulieren. Wir haben x mal. Dieser Teil sieht interessant aus, denn wenn ich mir 16x^2 ansehe, scheint mir das wie ein Quadrat. Lasst mich das schreiben. 16x^2. Das ist das Gleiche wie (4x)^2, und dann ist da noch eine neun, die offensichtlich ein Quadrat ist. Und zwar 3^2. Und wenn wir uns diese 24x anschauen, sehen wir, dass es sich hierbei um 4 mal 3 mal 2 handelt, sodass wir das wie folgt umformulieren können. Also das wäre plus 2 mal 4 mal 3x. Also, 2 mal 4 mal 3x. Warum habe ich mir all die Arbeit gemacht, das umzuschreiben? Warum habe ich mir all die Arbeit gemacht, das umzuschreiben? Weil wir so erkennen, dass es der Beschreibung eines Quadrats entspricht. Weil wir so erkennen, dass es der Beschreibung eines Quadrats entspricht. Was meine ich damit? Also in früheren Videos haben wir gesehen, dass falls du etwas in der Form Ax + B hast, und es quadrieren würdest, du Ax^2 +2ABx +B^2 erhältst du Ax^2 +2ABx +B^2 erhältst und genau diese Form haben wir hier. Das ist das Ax^2. Lass mich die passende Farbe nehmen. Ax^2. Da ist B^2. Und da sind die zwei ABx. 2ABx. Somit können wir diesen ganzen Abschnitt umschreiben. Somit können wir diesen ganzen Abschnitt umschreiben. A ist vier und B ist drei, weshalb das hier Ax entspricht, also 4x plus B, von dem wir wissen, dass es drei ist. Das Ganze hier zum Quadrat, wir dürfen das x hier vorne nicht vergessen. Und damit hätten wir es. Wir haben das hier soeben vollständig faktorisiert. Wir könnten es als x mal 4x plus drei schreiben und anschließend mal 4x plus drei rechnen, oder wir könnten x mal 4 plus 3 zum Quadrat rechnen. Und somit haben wir das hier vollständig faktorisiert, und die entscheidende Frage hier ist: Was könnte ich von all diesen Termen ausklammern? Ich könnte aus allen Termen ein x heraus teilen, und dann bemerken, dass das Überbleibsel ein Quadrat ist und anwenden, was wir in den vorherigen Videos behandelt haben.