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Binome der Form (x+a)² quadrieren (1. Binomische Formel)

Video-Transkript

Schauen wir mal, ob wir (x + 7) zum Quadrat auflösen können. Schauen wir mal, ob wir (x + 7) zum Quadrat auflösen können. Schauen wir mal, ob wir (x + 7) zum Quadrat auflösen können. Bitte versucht es erst einmal selbst, haltet das Video dazu zunächst an! Bitte versucht es erst einmal selbst, haltet das Video dazu zunächst an! Geschafft? Nun wollen wir das zusammen angehen... Wir müssen beachten, dass das Quadrat hoch 2 sich auf das gesamte Binom bezieht. Wir müssen beachten, dass das Quadrat hoch 2 sich auf das gesamte Binom bezieht. (x + 7) hoch 2 ist das Gleiche wie (x + 7) mal (x + 7) (x + 7) hoch 2 ist das Gleiche wie (x + 7) mal (x + 7) Ich nehme unterschiedliche Farben für beide x, Ich nehme unterschiedliche Farben für beide x, das macht die weiteren Überlegungen leichter. das macht die weiteren Überlegungen leichter. Das können wir zum Beispiel genauso wie andere binomische Ausdrücke multiplizieren. Das können wir zum Beispiel genauso wie andere binomische Ausdrücke multiplizieren. Das können wir zum Beispiel genauso wie andere binomische Ausdrücke multiplizieren. Zunächst mache ich das Schritt für Schritt auf eine langsame Art und Weise, Zunächst mache ich das Schritt für Schritt auf eine langsame Art und Weise, indem ich das Distributivgesetz normal anwende. Danach versuchen wir den Rechenweg abzukürzen, vielleicht erkennen wir ja ein Muster dazu. Danach versuchen wir den Rechenweg abzukürzen, vielleicht erkennen wir ja ein Muster dazu. Das könnten wir dann in Zukunft auch verwenden. Als ersten Schritt multipliziere ich die Klammern aus. Als ersten Schritt multipliziere ich die Klammern aus. Dazu müssen wir jeden Term einer Klammer mit der gesamten zweiten Klammer multiplizieren, Dazu müssen wir jeden Term einer Klammer mit der gesamten zweiten Klammer multiplizieren, heißt das Distributivgesetz zweimal anwenden. heißt das Distributivgesetz zweimal anwenden. Erste Distribution: x mal (x + 7) + 7 mal (x +7) Erste Distribution: x mal (x + 7) + 7 mal (x +7) Erste Distribution: x mal (x + 7) + 7 mal (x +7) Erste Distribution: x mal (x + 7) + 7 mal (x +7) Das können wir weiter ausmultiplizieren. Das können wir weiter ausmultiplizieren. Dadurch erhalten wir als Nächstes: Dadurch erhalten wir als Nächstes: x zum Quadrat + 7x x zum Quadrat + 7x und aus dem zweiten Ausdruck: und aus dem zweiten Ausdruck: 7x + 49 7x + 49 7x + 49 7x + 49 Und schon sind wir im Zieleinlauf! Das bleibt x Quadrat, die beiden 7x fasse ich zusammen, Das bleibt x Quadrat, die beiden 7x fasse ich zusammen, Insgesamt: x^2 + 14x + 49 x^2 + 14x + 49 x^2 + 14x + 49 x^2 + 14x + 49 Das wars. Können wir nun Muster erkennen, die uns in Zukunft das Rechnen einfacher machen? Können wir nun Muster erkennen, die uns in Zukunft das Rechnen einfacher machen? Können wir damit in Zukunft solche Binome schneller umformen? Können wir damit in Zukunft solche Binome schneller umformen? Als wir uns die Multiplikation von Binomen erstmals angesehen haben, Als wir uns die Multiplikation von Binomen erstmals angesehen haben, Als wir uns die Multiplikation von Binomen erstmals angesehen haben, Als wir uns die Multiplikation von Binomen erstmals angesehen haben, konnten wir folgendes Schema erstellen: (x + a) mal (x + b) = x^2 + (a + b)x + b^2 konnten wir folgendes Schema erstellen: (x + a) mal (x + b) = x^2 + (a + b)x + b^2 konnten wir folgendes Schema erstellen: (x + a) mal (x + b) = x^2 + (a + b)x + b^2 konnten wir folgendes Schema erstellen: (x + a) mal (x + b) = x^2 + (a + b)x + b^2 Wenn wie in unserem Fall a und b gleich sind, (x + a) mal (x + a) (x + a) mal (x + a) Das ist gleich x^2, wir denken uns dabei den Koeffizienten 1 vor x^2, Das ist gleich x^2, wir denken uns dabei den Koeffizienten 1 vor x^2, wie in unserem Beispiel, und da a und b gleich sind dann (a + a) mal x, und da a und b gleich sind dann (a + a) mal x, kurz 2ax. Nochmal: das kommt daher, da a und b wie in unserem Beispiel die 7 gleich sind. Nochmal: das kommt daher, da a und b wie in unserem Beispiel die 7 gleich sind. Nochmal: das kommt daher, da a und b wie in unserem Beispiel die 7 gleich sind. Daher ergibt die Berechnung x^2 + (a + a) mal x + a mal a, Daher ergibt die Berechnung x^2 + (a + a) mal x + a mal a, und weiter ausmultipliziert x^2 + 2ax + a^2. und weiter ausmultipliziert x^2 + 2ax + a^2. Das ist die allgemeine Schreibweise für ein quadratisches Binom wie im Beispiel. Das ist die allgemeine Schreibweise für ein quadratisches Binom wie im Beispiel. Das gilt für quadratische Binome mit einem gedachten Koeffizienten 1 vor x. Das gilt für quadratische Binome mit einem gedachten Koeffizienten 1 vor x. Genau das konnten wir eben auch beobachten. Genau das konnten wir eben auch beobachten. In unserem Beispiel war das a gleich 7, auch dort hatten wir (1) mal x^2, auch dort hatten wir (1) mal x^2, 2ax mit a = 7 ergibt 14x. 2ax mit a = 7 ergibt 14x. das allgemeine a der rechten Formel war in unserem Beispiel die 7. das allgemeine a der rechten Formel war in unserem Beispiel die 7. und schließlich ergibt a^2 für a = 7 49. und schließlich ergibt a^2 für a = 7 49. a Quadrat ist in unserem Beispiel 49. Wenn ihr also ein Binom wie dieses umformen sollt, geht das mit dieser Formel schnell. Wenn ihr also ein Binom wie dieses umformen sollt, geht das mit dieser Formel schnell. Wenn ihr also ein Binom wie dieses umformen sollt, geht das mit dieser Formel schnell. Das wenden wir gleich mal an bei: (x - 3) zum Quadrat. Das wenden wir gleich mal an bei: (x - 3) zum Quadrat. Das wenden wir gleich mal an bei: (x - 3) zum Quadrat. Das wenden wir gleich mal an bei: (x - 3) zum Quadrat. Auch jetzt bitte ich euch, das Video anzuhalten. Es ist wichtig, dass ihr es erst selbst versucht! Auch jetzt bitte ich euch, das Video anzuhalten. Es ist wichtig, dass ihr es erst selbst versucht! Auch jetzt bitte ich euch, das Video anzuhalten. Es ist wichtig, dass ihr es erst selbst versucht! Wir müssen aufpassen, unser a ist hier negativ, a = -3. Wir müssen aufpassen, unser a ist hier negativ, a = -3. Wir müssen aufpassen, unser a ist hier negativ, a = -3. Wir müssen aufpassen, unser a ist hier negativ, a = -3. Durch Umformung erhalten wir: Durch Umformung erhalten wir: 2ax ist hier 2 mal -3 mal x. 2ax ist hier 2 mal -3 mal x. 2ax ist hier 2 mal -3 mal x. Daher erhalten wir x^2 -6x , Daher erhalten wir x^2 -6x , und dann a Quadrat für a = - 3 und dann a Quadrat für a = - 3 minus mal minus ergibt plus, aus - 3 mal - 3 wird also plus 9. minus mal minus ergibt plus, aus - 3 mal - 3 wird also plus 9. minus mal minus ergibt plus, aus - 3 mal - 3 wird also plus 9. minus mal minus ergibt plus, aus - 3 mal - 3 wird also plus 9. Durch Verwendung des Schemas, das rechts in weiß steht, Durch Verwendung des Schemas, das rechts in weiß steht, Durch Verwendung des Schemas, das rechts in weiß steht, konnten wir das zweite quadratische Binom schnell und unkompliziert umformen. konnten wir das zweite quadratische Binom schnell und unkompliziert umformen. Durch den langsamen Rechenweg könnten wir das überprüfen. Durch den langsamen Rechenweg könnten wir das überprüfen.