Quadratische Terme faktorisieren

Faktorisiere 25x zum Quadrat plus 30x plus 9. Wir haben einen Leitkoeffizienten der nicht 1 ist. Und es sieht nicht so aus als ob es gemeinsame Teiler gibt. Sowohl 25 als auch 30 sind teilbar durch 5, aber 9 ist nicht durch 5 teilbar. Wir können dies durch Gruppierung faktorisieren. Wenn wir genauer hinschauen, sehen wir etwas interessantes. 25 ist ein perfektes Quadrat. 25x zum Quadrat ist ein perfektes Quadrat. Es ist das Quadrat von 5x. 9 ist ebenfalls ein perfektes Quadrat. Es ist das Quadrat von 3 oder es könnte das Quadrat von minus 3 sein. Das könnte auch das Quadrat von minus 5x sein. Vielleicht könnte dies ein perfektes Quadrat sein. Lasst uns darüber nachdenken, was passiert, wenn wir das perfekte Quadrat eines Binoms nehmen, insbesondere, wenn der Koeffizient des x Terms nicht 1 ist. Wenn wir ax plus b zum Quadrat haben, wir schaut dies aus, wenn wir daraus ein Trinom machen? Das ist das gleiche wie ax plus b mal ax plus b. Das wiederum ist das gleiche wie ax mal ax. ax mal ax ist gleich a zum Quadrat mal x zum Quadrat plus ax mal b, das ist abx plus b mal ax. Man kann es bax oder abx nennen, plus b mal b, also b quadriert. Das ist gleich a zum Quadrat mal x zum Quadrat plus - diese zwei sind dieselben Terme - 2abx plus c zum Quadrat. Das ist, was passiert, wenn Du ein Binom zum Quadrat nimmst. Dieses Muster scheint gut zu funktionieren. Lass mich das Problem hier etwas umschreiben. Wir haben 25 mal x zum Quadrat minus 30 mal x plus 9. Es ist ein perfektes Quadrat. Das bedeutet, dass der a zum Quadrat Teil hier 25 ist. Das bedeutet, dass der b zum Quadrat Teil - lass mich das in einer anderen Farbe darstellen - 9 ist. Das sagt uns, dass a plus oder minus 5 sein kann und dass b plus oder minus 3 sein kann. Schauen wir uns den mittleren Term an. Für diesen mittleren Term - - ich suche gerade nach guten Farben - 2ab - dieser Teil hier muss minus 30 sein. 2ab muss gleich minus 30 sein. Wenn wir beide Seiten durch 2 dividieren, ab muss gleich minus 15 sein. Das sagt uns, dass das Produkt negativ ist. Eines muss positiv und das andere negativ sein. Zum Glück ist das Produkt aus 5 und 3 gleich 15. Wenn wir eines positiv und eines negativ machen, erhalten wir minus 15. Scheint, dass das hier aufgeht. Wir könnten a als plus 5 wählen, und b als minus 3. Das würde also a mal b gleich minus 15 ergeben. Oder wir könnten a als minus 5 und b als plus 3 definieren. Auf beide Arten funktioniert es. Wenn wir dies faktorisieren, könnte dies zwei Lösungen ergeben: Es könnte entweder a ist 5 und b minus 3 sein. Dann wäre dies 5x minus 3 zum Quadrat. a ist hier 5 und b ist minus 3. Das wäre der erste Fall. Oder du könntest die Vorzeichen tauschen. a wäre minus 5 und b wäre plus 3. Dann hätten wir minus 5 mal x plus 3 zum Quadrat. Jede dieser beiden Möglichkeiten funktioniert, um diesen Term zu faktorisieren. Und falls Du Dich fragst, wie das funktioniert. Wie können beide Möglichkeiten das gleich Ergebnis liefern? Dieses minus 5x plus 3, wir könnten eine negative 1 ausklammern. Dieses hier ist dasselbe wie minus 1 mal 5x minus 3 und das Ganze zum Quadrat. Und das ist dasselbe wie minus 1 zum Quadrat mal 5 mal x minus 3 zum Quadrat. Und minus 1 zum Quadrat ergibt ganz klar 1. Das ist der Grund, warum diese beiden Dinge dasselbe sind. Dies ergibt dasselbe wie 5 mal x minus 3 zum Quadrat, was dasselbe ist, wie dieses Ding hier. Jede dieser beiden Lösungen ist eine mögliche Antwort.