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Quadratische Terme faktorisieren: Negativer gemeinsamer Faktor

Video-Transkript

Wir wollen -4t² minus 4t minus 9 in Faktoren zerlegen. Zu Beginn fragen wir uns, ob diese Terme gemeinsame Faktoren haben. Die ersten beiden sind durch 4 teilbar, die letzten beiden durch 3, aber es sind nicht alle durch eine einzige Zahl teilbar. Man könnte -1 ausklammern - dies ist dasselbe wie -1 mal 4t² plus 12t plus 9 - aber man hat dann immer noch einen Koeffizienten ungleich eins vor dem t²-Term. Also könnte man versuchen, die Terme zu gruppieren. Wenn man es faktorisieren würde durch Gruppieren, würde man die richtige Lösung finden. Aber es gibt etwas in dieser Gleichung, das auffällig ist und das das Lösen etwas einfacher macht. Um dies zu verstehen, gebe ich auf der rechten Seite eine Erklärung: Was passiert, wenn man a plus b mal a plus b rechnet, wenn man also ein Binom quadriert? Man erhält a mal a, das ist a². Dann hat man a mal b, das ist ab. Dann hat man b mal a, das ist dasselbe wie ab. Und schließlich b mal b, also b². Wenn man die beiden mittleren Terme addiert, ergibt das a² plus 2ab plus b². Das ist das Quadrat eines Binoms. Nun schauen wir, ob 4t² plus 12t plus 9 diesem Muster entspricht. 4t² enstpricht a². Dies hier ist a². Wenn dies hier a² ist, was ist dann a? a ist die Quadratwurzel davon. a ist die Quadratwurzel davon. Es ist 2t. Und wenn dies b² ist - ich nehme eine andere Farbe - wenn dies b² ist, wenn 9 b² ist, heißt das, dass b gleich 3 ist. heißt das, dass b gleich 3 ist. Es ist die positive Quadratwurzel von 9. Eigentlich muss es nicht unbedingt 3 sein, es kann auch -3 sein. es kann auch -3 sein. Es kann 3 oder -3 sein. Dieser Term hier, ist das 2 mal ab? Es geht um diesen mittleren Term. Ist er 2 mal ab? Wenn wir 2t mal 3 rechnen, erhalten wir 6t. Und wenn wir dies mit 2 multplizieren, erhalten wir 12t. 12t ist gleich 2 mal 2t mal 3. Es ist 2 mal ab. Wenn wir hier eine -3 hätten, würden wir hier eine -12 bekommen, aber so muss es eine plus 3 sein. Also entspricht dies dem Muster eines Quadrats. Es ist das Quadrat eines Binoms. Wenn man den Ausdruck in der Klammer faktorisieren möchte - - man hat immer noch die -1 davor, also 4t² plus 12t plus 9 - kann man sofort sagen, dass es a plus b mal a plus b sein muss. Also 2t plus 3 mal 2t plus 3 oder anders gesagt 2t plus 3 im Quadrat. Es entspricht dem Muster. Natürlich darf man die -1 nicht vergessen. Natürlich darf man die -1 nicht vergessen. Man könnte es auch durch Gruppieren lösen, aber vielleicht kann man das einfacher erkennen. Das ist eine Zahl zum Quadrat. Dies ist eine andere Zahl zum Quadrat. Nimm das Produkt dieser beiden Quadratzahlen, multipliziere es mit 2 und du erhältst diesen Ausdruck hier. Es ist ein quadratischer Term.