Spezialprodukte von Binomen: zwei Variablen

Finde die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge (6x-5y). Ich zeichne unser Quadrat und alle Seiten eines Quadrats haben dieselbe Länge. Wir wissen, dass die Länge jeder Seite (6x-5y) ist. jeder Seite (6x-5y) ist. Die Höhe wird 6x-5y sein und ebenso die Breite, 6x-5y. Wenn wir die Fläche des Quadrats finden wollen, müssen wir nur die Breite mit der Höhe multiplizieren. Also: Die Fläche dieses Quadrats ist die Breite, die (6x-5y) ist, mal die Höhe, die auch (6x-5y) ist. Wir müssen also nur diese beiden Binome multiplizieren. Dazu kann man die Klammern stückweise ausmultiplizieren, oder man erinnert sich daran, dass hier das Distributivgesetz zweimal angewendet wird. Wir können die magentafarbene Klammer (6x-5y) auf die Terme in der gelben Klammer verteilen, (6x-5y) auf die Terme in der gelben Klammer verteilen. Wir erhalten dann 6x mal die ganze Klammer (6x-5y), und -5y mal und -5y mal nochmals die magentafarbene Klammer (6x-5y). Was haben wir davon? Wir haben 6x mal 6x, und wenn ich dies hier verteile, wende ich das Distributivgesetz zum zweiten Mal an. 6x mal 6x ist 36x Quadrat, und wenn ich 6x mit -5y multipliziere, erhalte ich 6 mal -5 ist -30, und x mal y, also -30xy. Ich führe hier viele Farben ein, -5y mal 6x hier wieder -5 mal 6 ist -30. -30 und dann ist da noch ein x und ein y, und nun meine letzte Verteilung, ich schreibe es in weiß, ich habe -5y mal -5y negativ mal negativ ist positiv also ist das hier positiv, und 5 mal 5 ist 25, und y mal y ist y Quadrat. Nun sind wir fast fertig. Wir können diese beiden Terme in der Mitte zusammenfassen, -30xy-30xy ist -60xy. Wir erhalten also 36x Quadrat -60xy +25y Quadrat. Es gibt aber einen schnelleren Weg zu diesem Ergebnis. Wir erinnern uns, wenn man ein Binom quadriert, und genau das tun wir hier, dasn können wir hier auch schreiben (6x-5y) zum Quadrat Man muss dieses Muster erkennen. Wenn man (a+b) zum Quadrat hat, ist es das Gleiche wie (a+b) mal (a+b). Wenn man es ausmultipliziert, genau wie wir es hier gemacht haben, dasnn ist das Muster hier a mal a, das ist a Quadrat, plus a mal b, +ab, plus b mal a das ist auch +ab, nur in anderer Reihenfolge, plus b Quadrat, das ergibt a Quadrat +2ab + b Quadrat. Dies ist der schnellste Weg, jedes Binom zu quadrieren. a+b zum Quadrat ist a Quadrat + 2ab + b Quadrat. Hätten wir dies vorher gewußt, hätten wir es anwenden können, um dieses Binom hier zu quadrieren. Wir machen es auch auf diese Weise. Wenn wir (6x-5y) quadrieren, dann haben wir a Quadrat, wobei a in diesem Fall 6x ist, wobei a in diesem Fall 6x ist, und dann +2 mal a, also (6x), mal b, was (-5y) ist, +b quadriert also +(-5y) quadriert. Dann vereinfacht sich dies alles, 6x quadriert ist 36x Quadrat, dann wird es negativ, weil wir 2 mal 6, also 12 haben, mal -5, das ist -60, mal x und y, und dann noch -5y quadriert, das ist +25y Quadrat. Wir haben mehrere Wege gefunden, diese Aufgaben zu lösen, wenn man aber dieses Muster sofort erkennt, kann man gleich auf den Punkt kommen und muss nicht das Distributivgesetz zweimal anwenden, obwohl das nie falsch ist.