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Mehr Beispiele von speziellen Produkten

Video-Transkript

Ich möchte nun einige Beispiele über die zwei wahrscheinlich häufigsten Typen ganzrationaler Multiplikation behandeln, mit denen ihr in der Algebra garantiert zu tun haben werdet. Zunächst ein quadriertes Binom. Wenn wir also x plus 9, hoch 2 haben, denkt ihr bestimmt, dass das hier x² plus 9² ist. Da muss ich euch enttäuschen. Ihr müsst jeder Versuchung widerstehen, dies zu tun. Ihr müsst jeder Versuchung widerstehen, dies zu tun. Es ist nicht x² plus 9². Merkt euch, x plus 9, hoch 2 ist gleich x plus 9, mal x plus 9. Merkt euch, x plus 9, hoch 2 ist gleich x plus 9, mal x plus 9. Das ist eine Multiplikation dieses Binoms mit sich selbst. Das müsst ihr euch merken. Es ist sehr verführend, zu denken, dass das einfach x² plus 9² ist, aber nein, ihr müsst das ausfächern. Nun, da wir das getan haben, können wir einige Tricks zum Multiplizieren anwenden, die wir im letzten Video kennengelernt haben. Um zu zeigen, dass wir es genau so wie letztes Mal multipliziert haben, Um zu zeigen, dass wir es genau so wie letztes Mal multipliziert haben, multiplizieren wir nun x plus 9, mal x plus [magenta] 9. Das mache ich jetzt so, um euch zu zeigen, wie ich mal 9 und x multipliziere. Also. Wir haben 9 mal 9 ist 81. Das kommt an die Konstantenstelle. 9 mal x ist 9x. Dann haben wir-- nun dieser x-Term --wir haben ein gelbes x. x mal 9 ist 9x. Dies auf die x-Term-Stelle. x mal x ist x². Dann addieren wir alles auf. Und wir erhalten x² plus 18x plus 81. Das ist dann gleich x² plus 18x plus 81. Ihr erkennt vielleicht ein Muster hier, was ich gleich deutlich mache. Was passiert, wenn ihr ein Binom quadriert? Ihr habt x². Ihr habt dieses x hier mal dieses x, also x². Ihr habt 9 mal 9, gibt 81. Und diesen Term hier, der 18x ergibt. Wie haben wir dieses 18x bekommen? Nun, wir haben dieses x mal 9 gerechnet, um 9x zu bekommen, und dann haben wir diese 9 mal x gerechnet, um ein weiteres 9x zu erhalten. Und dann haben wir diese beiden hier addiert, um 18x zu bekommen. Grundsätzlich, wenn ihr ein quadriertes Binomial habt -- lasst mich das so zeigen. Grundsätzlich, wenn ihr ein quadriertes Binomial habt -- lasst mich das so zeigen. Ich mach´s mal ganz allgemein. Wir haben z.B. a plus b, hoch 2. Ich mach´s mal ganz allgemein. Wir haben z.B. a plus b, hoch 2. Ich rechne es mal so, um es euch zu verdeutlichen. Ich rechne es mal so, um es euch zu verdeutlichen. Das ist gleich a plus b, mal a plus-- mit einem grünen b dieses Mal. Das ist gleich a plus b, mal a plus-- mit einem grünen b dieses Mal. Wir haben b mal b ist b². Nehmen wir einen konstanten Term an. Ich schreibe b² hier hin. Angenommen, das sei die Konstante. Das wäre eine Konstante, analog zu unserer 81. Das wäre eine Konstante, analog zu unserer 81. a ist eine Variable, die-- am besten nochmal besser hinschreiben. a ist eine Variable, die-- am besten nochmal besser hinschreiben. Ich schreibe es mal als x plus b, hoch 2, und wir nehmen an, b wäre eine Konstante. Ich schreibe es mal als x plus b, hoch 2, und wir nehmen an, b wäre eine Konstante. Das wäre also x plus b, mal x plus grünes b, genau hier. Angenommen, b sei eine Konstante, b mal ist b². b mal x ist bx. Dann das magenta x. x mal b ist bx. Und schließlich x mal x ist x². Wenn man also alles zusammenzählt, bleibt x² plus 2bx plus b² übrig. Wenn man also alles zusammenzählt, bleibt x² plus 2bx plus b² übrig. Was ihr seht, ist das Endprodukt, wenn man x plus b quadriert. Es ist gleich x² plus 2 mal dem Produkt von x und b, plus b². x plus b quadriert. Es ist gleich x² plus 2 mal dem Produkt von x und b, plus b². Mit diesem Muster rechnen wir am besten noch ein paar andere Beispiele. Mit diesem Muster rechnen wir am besten noch ein paar andere Beispiele. Ich mach´s dieses Mal schneller. Also: 3x minus 7 zum Quadrat. Errinnert euch, was ich euch gesagt habe. Behaltet es im Hinterkopf, denn ihr solltet wissen, warum es Sinn macht. Beim Ausmultiplizieren wendet ihr zweimal das Distributivgesetz an und erhaltet dasselbe Ergebnis. Beim Ausmultiplizieren wendet ihr zweimal das Distributivgesetz an und erhaltet dasselbe Ergebnis. Das ist dann gleich 3x zum Quadrat plus 2 mal 3x mal -7. Das ist dann gleich 3x zum Quadrat plus 2 mal 3x mal -7. Ja? Wir wissen, dass das jeweils 2 mal das Produkt dieser Terme ist, plus (-7)². Beim Anwenden der Produktregel hier ist (3x)² dasselbe wie 9x². Hier haben wir 2 mal 3, ist 6, mal -7, ergibt -42x. Hier haben wir 2 mal 3, ist 6, mal -7, ergibt -42x. Und (-7)² ist plus 49. Das war die schnelle Lösung. Um euch nicht zu überfordern, mache ich es nochmal langsamer. 3x minus 7, mal 3x minus 7. -7 mal -7 ergibt 49. -7 mal 3x ist -21x. 3x mal -7 ist -21x. 3x mal 3x ist 9x². Weiter nach links. Alles addieren. Es bleibt übrig: 9x² minus 42x plus 49. Wir erhalten also dasselbe Ergebnis. Jetzt wieder eines auf die schnelle Art. Wenn wir haben: 8x minus 3-- oder besser eines, welches mehr Variablen enthält. Wir haben 4x² plus y², das wollen wir quadrieren. Wir haben 4x² plus y², das wollen wir quadrieren. Gleiche Vorgehensweise. Das ist gleich diesem Term hoch 2, (4x²)², plus 2 mal dem Produkt beider Terme, Das ist gleich diesem Term hoch 2, (4x²)², plus 2 mal dem Produkt beider Terme, 2 mal 4x² mal y², plus y², diesem Term hier, hoch 2. 2 mal 4x² mal y², plus y², diesem Term hier, hoch 2. Was ist das nun wiederum? Das ist gleich 16 -- 4² ist 16 -- x² hoch 2, das ist 2 mal 2, also x hoch 4. x² hoch 2, das ist 2 mal 2, also x hoch 4. Und dann plus, 2 mal 4 mal 1, das ist 8x²y². Und dann plus, 2 mal 4 mal 1, das ist 8x²y². Und dann (y²)², ist y hoch 4. Das waren jetzt quadrierte Binome. Im nächsten Beispiel möchte ich euch zeigen, wie ich das Produkt einer Summe und Differenz bilde. Im nächsten Beispiel möchte ich euch zeigen, wie ich das Produkt einer Summe und Differenz bilde. Das wird am Ende ganz gut. Nun erstmal etwas Allgemeines. Sagen wir einfach a plus b, mal a minus b. Was ist das? Das ist gleich -- lasst mich das in unterschiedlichen Farben machen -- also a minus b, genau so. Das ist gleich -- lasst mich das in unterschiedlichen Farben machen -- also a minus b, genau so. Das ist dann dieses grüne a mal dieses magenta a, a mal a, plus, oder besser gesagt minus dem grünen a, mal diesem b. a mal a, plus, oder besser gesagt minus dem grünen a, mal diesem b. Das Minus habe ich von hier. Und dann haben wir unser grünes b, also plus das grüne b mal dem magenta a. Und dann haben wir unser grünes b, also plus das grüne b mal dem magenta a. Ich multipliziere einfach jeden Term mit jedem anderen Term.. Und schließlich minus dem grünen b -- daher kommt das minus -- minus dem grünen b mal magenta b. Und schließlich minus dem grünen b -- daher kommt das minus -- minus dem grünen b mal magenta b. Und schließlich minus dem grünen b -- daher kommt das minus -- minus dem grünen b mal magenta b. Was ist das wiederum? Das ist gleich a², und dann minus ab. Das ist gleich a², und dann minus ab. Das kann als plus ab umgeschrieben werden, und dann haben wir minus b². Das kann als plus ab umgeschrieben werden, und dann haben wir minus b². Diese beiden hier fallen weg, minus ab plus ab, also bleibt euch nur noch a² minus b² übrig. Was ein schönes Ergebnis ist, da es vieles vereinfacht. Was ein schönes Ergebnis ist, da es vieles vereinfacht. Nutzen wir diese Idee, um zu multiplizieren. Wenn wir haben: 2x minus 1, mal 2x plus 1. Das ist dasselbe. Die 2x plus 1 könnt ihr als a plus b sehen, und das 2x minus 1 könnt ihr als a minus b sehen, wobei das hier a und das b hier 1 ist. Das ist b. Das ist a. Einfach dieses Muster anwenden, das wir erarbeitet haben. Was ist das? Das ist (2x)², minus b², minus 1². Das ist (2x)², minus b², minus 1². (2x)² ist 4x². 1² ist einfach 1, also minus 1. Also ist das dann 4x² minus 1. Machen wir noch eines, um es zu verinnerlichen. Machen wir noch eines, um es zu verinnerlichen. Ich konzentriere mich jetzt aufs Multiplizieren. Wenn ich habe: 5a minus 2b, das mal 5a plus 2b. Wenn ich habe: 5a minus 2b, das mal 5a plus 2b. Merkt euch: Das klappt nur, wenn ich ein Produkt aus einer Summe und einer Differenz habe. Nur dann kann ich es anwenden. Ich habe euch gezeigt, warum. Wenn ihr daran zweifelt, multipliziert es einfach aus. Das dauert ein wenig länger. Und ihr seht die sich eliminierenden Terme. Ihr könnt dies nicht für jede beliebige binomische Multiplikation tun. Das habt ihr vorher gesehen, als wir multipliziert, als wir quadriert haben. Das habt ihr vorher gesehen, als wir multipliziert, als wir quadriert haben. Das ist dann, unter Anwendung des Musters, (5a)² minus (2b)², was gleich 25a² minus 4b² ist. (5a)² minus (2b)², was gleich 25a² minus 4b² ist. Belassen wir es nun dabei, wir sehen uns im nächsten Video. Belassen wir es nun dabei, wir sehen uns im nächsten Video.