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Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 14

Lesson 8: Spezielle Produkte von Binomen
Mathematik
Algebra 1
Polynome
Spezielle Produkte von Binomen
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Spezielle binomische Produkte - Wiederholung

Google Classroom
Eine Wiederholung zur 3. binomischen Formel (a+b)(a-b)=a^2-b^2, und auch andere bekannte Verfahren, die beim Multiplizieren von Binomen aufgetreten sind, so wie  (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
Diese Arten von einer Binom-Multiplikation (Binomische Formeln) kommen immer wieder, daher ist es gut sich damit auszukennen.
Das "Differenz von Quadraten"-Verfahren (3. Binomische Formel)
left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis, equals, a, squared, minus, b, squared
Die beiden anderen Verfahren (1. und 2. Binomische Formel):
(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2\begin{aligned} &(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\\\ &(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{aligned}

Beispiel 1

Multipliziere den Term aus.
left parenthesis, c, minus, 5, right parenthesis, left parenthesis, c, plus, 5, right parenthesis
Der Term passt zu dem "Differenz von Quadraten"-Muster (3. Binomische Formel):
left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis, equals, a, squared, minus, b, squared
Unsere Lösung ist daher:
left parenthesis, c, minus, 5, right parenthesis, left parenthesis, c, plus, 5, right parenthesis, equals, c, squared, minus, 25
Wenn du aber dieses Muster nicht erkennst, ist es in Ordnung, einfach die Binome wie immer zu multiplizieren. Mit der Zeit lernst du das Muster zu erkennen.
(c−5)(c+5)=c(c)+c(5)−5(c)−5(5)=c(c)+5c−5c−5(5)=c2−25\begin{aligned} &(\purpleD{c-5})(c+5)\\\\ =&\purpleD{c}(c)+\purpleD{c}(5)\purpleD{-5}(c)\purpleD{-5}(5)\\\\ =&\purpleD{c}(c)+\redD{5c-5c}\purpleD{-5}(5)\\\\ =&c^2-25 \end{aligned}
Beachte, wie der "mittlere Term" sich aufhebt.
Willst du ein weiteres Beispiel? Schau dir diese Video an.

Beispiel 2

Multipliziere den Term aus.
left parenthesis, m, plus, 7, right parenthesis, squared
Der Term passt zu diesem Muster (1. Binomische Formel):
left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, squared, equals, a, squared, plus, 2, a, b, plus, b, squared
Unsere Lösung ist daher:
left parenthesis, m, plus, 7, right parenthesis, squared, equals, m, squared, plus, 14, m, plus, 49
Wenn du aber dieses Muster nicht erkennst, ist es in Ordnung, einfach die Binome wie immer zu multiplizieren. Mit der Zeit lernst du das Muster zu erkennen.
(m+7)2=(m+7)(m+7)=m(m)+m(7)+7(m)+7(7)=m(m)+7m+7m+7(7)=m2+14m+49\begin{aligned} &(m+7)^2\\\\ =&(\blueD{m+7})(m+7)\\\\ =&\blueD{m}(m)+\blueD{m}(7)+\blueD{7}(m)+\blueD{7}(7)\\\\ =&\blueD{m}(m)\greenD{+7m+7m}+\blueD{7}(7)\\\\ =&m^2+14m+49 \end{aligned}
Willst du ein weiteres Beispiel? Schau dir dieses Video an.

Beispiel 3

Multipliziere diesen Term aus.
left parenthesis, 6, w, minus, y, right parenthesis, left parenthesis, 6, w, plus, y, right parenthesis
Der Term passt zu dem "Differenz von Quadraten"-Muster (3. Binomische Formel):
left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis, equals, a, squared, minus, b, squared
Unsere Lösung ist daher:
(6w−y)(6w+y)=(6w)2−y2=36w2−y2\begin{aligned} &(6w-y)(6w+y) \\\\ =&(6w)^2-y^2 \\\\ =&36w^2-y^2 \end{aligned}
Wenn du aber dieses Muster nicht erkennst, ist es in Ordnung, einfach die Binome wie immer zu multiplizieren. Mit der Zeit lernst du das Muster zu erkennen.
(6w−y)(6w+y)=6w(6w)+6w(y)−y(6w)−y(y)=6w(6w)+6wy−6wy−y(y)=36w2−y2\begin{aligned} &(\purpleD{6w-y})(6w+y)\\\\ =&\purpleD{6w}(6w)+\purpleD{6w}(y)\purpleD{-y}(6w)\purpleD{-y}(y)\\\\ =&\purpleD{6w}(6w)+\redD{6wy-6wy}\purpleD{-y}(y)\\\\ =&36w^2-y^2 \end{aligned}
Beachte, wie der "mittlere Term" sich aufhebt.
Willst du mehr üben? Schau dir diese Einführungsübung und diese etwas schwierigere Übung an.

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