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Vergleichen von irrationalen Zahlen, die Wurzeln enthalten

Video-Transkript

Hier stehen sechs Zahlen, und wie man sieht, sind fünf davon irrational. Hier stehen sechs Zahlen, und wie man sieht, sind fünf davon irrational. Sie umfassen die Wurzel einer nicht-quadratischen Zahl. In diesem Video versuchen wir, ohne Taschenrechner, diese Zahlen der Größe nach zu sortieren. In diesem Video versuchen wir, ohne Taschenrechner, diese Zahlen der Größe nach zu sortieren. Und wie immer, pausiert Video und seht, ob ihr das zunächst allein tun könnt. Und wie immer, pausiert Video und seht, ob ihr das zunächst allein tun könnt. Ich gebe euch einen Hinweis. Der Hinweis... Es ist wirklich sehr schwierig ohne Taschenrechner. Der Hinweis... Es ist wirklich sehr schwierig ohne Taschenrechner. Die Wurzel aus 2 wird irgendetwas mit 1,xx sein. Die Wurzel aus 2 wird irgendetwas mit 1,xx sein. Die Wurzel von 3 wird auch irgendwas mit 1,xx sein. Die Wurzel von 3 wird auch irgendwas mit 1,xx sein. Wie machen wir das? Erklären wir das anhand folgendem Beispiel: Nehmen die Zahl a, die größer ist als 0. Wenn wir nun wissen, dass a kleiner als b ist, dann ist a² damit auch kleiner als b². Wenn wir nun wissen, dass a kleiner als b ist, dann ist a² damit auch kleiner als b². Wenn eine positive Zahl kleiner als eine andere positive Zahl ist, dann ist das Quadrat dieser positiven Zahl Wenn eine positive Zahl kleiner als eine andere positive Zahl ist, dann ist das Quadrat dieser positiven Zahl kleiner als das Quadrat dieser Zahl. Eine Sache, die wir tun könnten beim Vergleichen all dieser irrationalen Zahlen Eine Sache, die wir tun könnten beim Vergleichen all dieser irrationalen Zahlen mit Wurzeln von nicht-quadratischen Zahlen ist das Vergleichen ihrer Quadrate. mit Wurzeln von nicht-quadratischen Zahlen ist das Vergleichen ihrer Quadrate. Deren Quadrate ergeben nämlich keine irrationalen Zahlen. Deren Quadrate ergeben nämlich keine irrationalen Zahlen. Damit kann man sie besser vergleichen und dann auch sortieren. Damit kann man sie besser vergleichen und dann auch sortieren. Denn wenn man ihre Quadrate sortiert, sagen sie uns, was passiert, wenn wir ihre Wurzeln sortieren. Denn wenn man ihre Quadrate sortiert, sagen sie uns, was passiert, wenn wir ihre Wurzeln sortieren. Denn wenn man ihre Quadrate sortiert, sagen sie uns, was passiert, wenn wir ihre Wurzeln sortieren. Was meine ich damit? Ich quadriere einfach alle diese Wurzeln. Wenn ich das hier hoch 2 setze, dann haben wir 4 Wurzel 2, hoch 2. Wenn ich das hier hoch 2 setze, dann haben wir 4 Wurzel 2 mal 4 Wurzel 2. Wenn ich das hier hoch 2 setze, dann haben wir 4 Wurzel 2 mal 4 Wurzel 2. Man kann die Multiplikaitonsreihenfolge ändern. Das sind 4 mal 4 mal Wurzel 2 mal Wurzel 2. Das sind 4 mal 4 mal Wurzel 2 mal Wurzel 2. 4 mal 4 ist 16. Wurzel 2 mal Wurzel 2 sind 2. Wurzel 2 mal Wurzel 2 sind 2. Also sind das 16 mal 2, das ergibt 32. Was ist mit 2 Wurzel 3. Hier dasselbe: Quadrieren. Hier dasselbe: Quadrieren. Das mache ich ein wenig schneller. Beim Quadrieren von 2 Wurzel 3 wird dies zu 2 Wurzel 2, hoch 2. Beim Quadrieren von 2 Wurzel 3 wird dies zu 2 Wurzel 2, hoch 2. Beim Quadrieren von 2 Wurzel 3 wird dies zu 2 Wurzel 2, hoch 2. Also erhalten wir 2 hoch 2 mal Wurzel 3 hoch 2. Also erhalten wir 2 hoch 2 mal Wurzel 3 hoch 2. Nun, 2 hoch 2 ist 4. Wurzel 3 hoch 2 ist 3. Dann erhalten wir hier 12. Das ist das hier quadriert. Wenn euch dieser Schritt etwas verwirrt, wenn man das Produkt zweier Zahlen potenziert, Wenn euch dieser Schritt etwas verwirrt, wenn man das Produkt zweier Zahlen potenziert, ist dies dasselbe wie beide einzeln zu potenzieren und dann das Produkt zu bilden. ist dies dasselbe wie beide einzeln zu potenzieren und dann das Produkt zu bilden. ist dies dasselbe wie beide einzeln zu potenzieren und dann das Produkt zu bilden. Wie man sieht, funktioniert dies in dem Beispiel, also macht es Sinn. Wie man sieht, funktioniert dies in dem Beispiel, also macht es Sinn. Es ist auch wichtig, die Multiplikationsreihenfolge zu ändern, 4 mal 4 bzw. 4 hoch 2, mal Wurzel 2 hoch 2, Es ist auch wichtig, die Multiplikationsreihenfolge zu ändern, 4 mal 4 bzw. 4 hoch 2, mal Wurzel 2 hoch 2, was dann 2 ergibt. Also machen wir weiter. Was ist das hier quadriert? Das ist 3 hoch 2, also 9, mal Wurzel 2 hoch 2, ist gleich 2. Das ist 3 hoch 2, also 9, mal Wurzel 2 hoch 2, ist gleich 2. 9 mal 2 sind 18. Was ist Wurzel 17 hoch 2? Das ist einfach 17 (in blau). Das ist einfach 17 (in blau). Das ist einfach 17 (in blau). Was ist 3 Wurzel 3, hoch 2? Das sind 3 hoch 2, also 9, mal Wurzel 3 hoch 3. Das sind 3 hoch 2, also 9, mal Wurzel 3 hoch 3. Das Quadrat von Wurzel 3 ist 3. Das Quadrat von Wurzel 3 ist 3. Das sind also 9 mal 3, ergibt 27. Und was ist 5 hoch 2? Das ist ziemlich klar. Das sind 25. Jetzt sortieren wir die Zahlen von klein zu groß. Welcher dieser Zahlen gibt mir den kleinsten Wert? Welcher dieser Zahlen gibt mir den kleinsten Wert? Vergleiche 32 mit 12 mit 18 mit 17 mit 27 mit 5. 12 ist der kleinste Wert. Wenn deren Quadrat am kleinsten ist - und das hier sind alles positive Zahlen - dann ist das hier der kleinste Wert von allen. Wenn deren Quadrat am kleinsten ist - und das hier sind alles positive Zahlen - dann ist das hier der kleinste Wert von allen. Wenn deren Quadrat am kleinsten ist - und das hier sind alles positive Zahlen - dann ist das hier der kleinste Wert von allen. Wenn deren Quadrat am kleinsten ist - und das hier sind alles positive Zahlen - dann ist das hier der kleinste Wert von allen. Schreiben wir das nochmal hin. 2 Wurzel 3. Damit hätten wir das hier. Welche als nächstes? Hier, dieser Wert. 17 ist das nächstgrößere Quadrat, also ist die Wurzel damit auch die nächstkleinere Wurzel. 17 ist das nächstgrößere Quadrat, also ist die Wurzel damit auch die nächstkleinere Wurzel. Also haben wir 2 Wurzel 3 und dann Wurzel 17. Also haben wir 2 Wurzel 3 und dann Wurzel 17. Das hier. Dann haben wir 18. Schauen wir auf die Wurzel, die Zahlen, die wir eigentlich sortieren möchten. Schauen wir auf die Wurzel, die Zahlen, die wir eigentlich sortieren möchten. Die nächstgrößere Zahl in dieser Reihenfolge wäre dann also 3 Wurzel 2 - auch erledigt. Die nächstgrößere Zahl in dieser Reihenfolge wäre dann also 3 Wurzel 2 - auch erledigt. Die nächstgrößere Zahl in dieser Reihenfolge wäre dann also 3 Wurzel 2 - auch erledigt. Das nächste ist dann 25, wenn wir auf dessen Quadrat schauen. Das nächste ist dann 25, wenn wir auf dessen Quadrat schauen. Der nächstgrößere Wert unserer ursprünglichen Zahlen ist also 5. Der nächstgrößere Wert unserer ursprünglichen Zahlen ist also 5. Das hier ist also auch erledigt. Jetzt sind noch 27 und 32 übrig. Jetzt sind noch 27 und 32 übrig. 27 ist das nächstgrößere Quadrat, also ist die nächstgrößere Zahl, die wir betrachten, 3 Wurzel 3. 27 ist das nächstgrößere Quadrat, also ist die nächstgrößere Zahl, die wir betrachten, 3 Wurzel 3. 27 ist das nächstgrößere Quadrat, also ist die nächstgrößere Zahl, die wir betrachten, 3 Wurzel 3. Also 3 Wurzel 3, auch diese Zahl steht. Und dann die letzte und größte Zahl, 4 Wurzel 2. Und dann die letzte und größte Zahl, 4 Wurzel 2. Und dann die letzte und größte Zahl, 4 Wurzel 2. Und das war´s! Sehr schön. Wir konnten ohne Taschenrechner diese größtenteils irrationalen Zahlen der Größe nach sortieren. Wir konnten ohne Taschenrechner diese größtenteils irrationalen Zahlen der Größe nach sortieren. Nicht alle davon irrational, aber diejenigen mit einer Wurzel aus einer nicht-quadratischen Zahl. Nicht alle davon irrational, aber diejenigen mit einer Wurzel aus einer nicht-quadratischen Zahl. Nicht alle davon irrational, aber diejenigen mit einer Wurzel aus einer nicht-quadratischen Zahl.