Abschätzen von Quadratwurzeln auf Hundertstel

Wir sollen die Quadratwurzel oder die positive Wurzel aus 45 ziehen und das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma auf Hundertstel runden. Wir dürfen keinen Taschenrechner benutzen, weil das zu einfach wäre. Mal sehen, ob wir uns dem Ergebnis nur mit Stift und Papier annähern können. mit Stift und Papier annähern können. Die Quadratwurzel aus 45 ziehen, wobei 45 ist kein perfektes Quadrat ist. Sie ist definitiv kein perfektes Quadrat. Zunächst betrachten wir die perfekten Quadrate um 45. Wir wissen, dass es wenige -- das nächste perfekt Quadrat über 45 ist 49 und das ist 7 mal 7. Das Ergebnis ist also kleiner als die Quadratwurzel aus 49 und ist größer als die Quadratwurzel aus 36. Die Quadratwurzel aus 36 ist 6. Und die Wurzel aus 49 ist 7. Der Wert muss also zwischen 6 und 7 liegen. 45 ist nur 4 Einheiten von 49 entfernt und 9 Einheiten von 36. Die Differenz aus 49 und 36 ist 13. Es besteht also eine Lücke von 13 zwischen 6 zum Quadrat und 7 zum Quadrat. Von 36 bis 45 sind es 9 Einheiten. Also Annäherung vielleicht -- es wird nicht perfekt funktionieren, weil wir es quadrieren und keine lineare Beziehung vorliegt -- aber wir werden näher bei 7 liegen als bei 6. Die 45 ist 9/13 des Weges. Die 45 ist 9/13 des Weges. Also. Es sieht aus als wäre das 2/3 des Weges. Lass uns 6,7 als Tipp versuchen, weil 0,7 ungefähr 2/3 ist. Es könnte das Gleiche sein. Wir könnten das hier ausrechnen, wenn wir wollen. Aber, lass es uns zum Spaß machen. Was für eine Dezimalzahl ist 9/13? Wie oft passt die 13 in die 9? Ich schreibe hier ein paar Dezimalstellen hin. 13 passt nicht in 9, aber 13 passt in 90. Und 13 passt in 90 -- mal sehen passt wie oft sie reinpasst -- sie passt sechs mal rein. Also, 6 mal 3 ist 18. 6 mal 1 ist 6, plus 1 ergibt 7. Nun ziehst du das ab und erhälst 12. Sie hätte also fast sieben mal reingepasst. Dieser Wert ist also fast 0,7. Nun stellt sich die Frage, wie oft die 13 in die 120 passt? Sieht nach neun mal aus. Ja, sie passt 9 mal rein. 9 mal 3. Korrigier das. 9 mal 3 ist 27. 9 mal 1 ist 9, plus 2 ist 11. Du hast einen Rest von 3. Also ungefähr 0,69. Also 6,7 liegt schon ziemlich nah dran. Das ist 0,69 des Weges zwischen 36 und 49. Nun gehen wir ungefähr 0,69 des Weges zwischen 6 und 7. Zur Wiederholung, wir machen hier eine Annäherung. Das heißt, wir werden wahrscheinlich nicht das genaue Ergebnis erhalten. Wir gehen so vor, um eine gute Ausgangsannahme zu erhalten und dann sehen wir, ob es funktioniert. Versuchen wir es mit 6,7. Ein guter Weg ist, die 6,7 zu quadrieren. Also 6,7 -- ich sollte ein Multiplikationssymbol verwenden. Also 6,7 mal 6,7. Wir haben 7 mal 7 was 49 ergibt. 7 mal 6 ist 42, plus 4 ergibt 46. Hier kommt eine Null hin, weil wir eins nach links gewandert sind. Jetzt rechnen wir 6 mal 7. Das ist 42. Behalte die 4. 6 mal 6 ergibt 36, plus 4 ergibt 40. 9 plus 0 ergibt 9. 6 plus 2 ergibt 8. 4 plus 0 ergibt 4. Jetzt haben wir noch die 4 hier. Zwei Zahlen kommen hinter das Komma. Eins, zwei. Damit erhalten wir 44,89. 6,7 bringt uns schon ziemlich nach dran. Aber, wir haben das Ergebnis nur auf eine Stelle nach dem Komma bestimmt. Das sind Zehntel und keine Hundertstel. Versuchen wir das Ergebnis genau zu bestimmen. Wenn wir 45 erhalten wollen, dann ist 6,7 zu klein, weil das Quadrat von 6,7 kleiner ist als 45. Versuchen wir es mit 6,71. Ich verwende dafür eine neue Farbe. Ich notiere 6,71 in pink. Wir versuchen es mit 6,71 und vergrößern damit das Quadrat ein bisschen. Mal sehen, ob wir von 44,89 auf 45 kommen. Wir liegen jetzt schon ziemlich nah dran. Versuchen wir es. 6,71. Also nochmal, wir machen die Rechnungen zu Fuß. Wir gehen davon aus, dass der Taschenrechner nicht erlaubt ist. Also 1 mal 1 ist 1. 1 mal 7 ist 7. 1 mal 6 ist 6. Setze hier eine Null. 7 mal 1 ist 7. 7 mal 7 ist 49. 7 mal 6 ist 42, plus 4 ist 46. Nun haben wir zwei Nullen hier. 6 mal 1 ist 6. 6 mal 7 ist 42. Jetzt hast du eine 4 hier. 6 mal 6 ist 36, plus 4 ergibt 40. Plus 40. Plus 40. Es ist interessant zu sehen, was passiert wenn wir ein Hundertstel hinzufügen. Wenn wir alles zusammen rechnen, erhalten wir das Ergebnis. Du erhälst eine 1. 7 plus 7 ist 14. 1 plus 6 plus 9 ergibt 16, plus 6 ergibt 22. 2 plus 6 plus 2 ist 10. Und 1 plus 4 ist 5. Jetzt kommt noch die 4 runter. Und wir erhalten eins, zwei, drei, vier Zahlen hinter dem Komma. Eins, zwei, drei, vier. Also, wenn du 6,71 quadrierst, dann erhälst du 45,0241. Also 6,71 ergibt ein größeres Ergebnis. Lass mich etwas klar stellen. Wir wissen, dass 6,7 kleiner als die Wurzel aus 45 ist und wir wissen, dass die Wurzel aus 45 kleiner als 6,71 ist. Wenn wir 6,71 quadrieren, erhalten wir eine Zahl, die etwas größer als 45 ist. Der Schlüssel hier ist, dass wenn 6,7 quadrieren erhalten wir 44,89, was 0,11 von 45 entfernt ist. Und wenn wir 6,71 quadrieren, dann sind wir nur 0,0241 von 45 entfernt. Diese Zahl liegt also näher an der Wurzel aus 45. Für eine Annäherung auf Hundertstel sollten wir also die 6,71 verwenden.