Kreisbogenlänge vom Mittelpunktswinkel

Ich habe hier einen Kreis, dessen Umfang 18 pi groß ist. Wenn wir den Kreis einmal im Uhrzeigersinn messen, erhalten wir als Größe 18 pi. In der Mitte zeichne ich gleich einen Kreis ein. Das ist das Zentrum des Kreises. Der Mittelpunktswinkel, den ich jetzt einzeichne hat eine Öffnung von 10 Grad. Dieser Winkel ist also 10 Grad groß. Ich möchte nun die Länge des Kreisbogens ermitteln, der durch den Winkel eingeschlossen wird. Wie lang ist dieses in magenta markierte Stück des Kreises? Eine Möglichkeit sich diesem Problem zu nähern, ist das Verhältnis des markierten Kreisbogens zum gesamten Umfang zu betrachten. -- ich notiere das mal -- Dieses Verhältnis sollte das Gleiche sein, wie das Verhältnis des Mittelpunktswinkels zu der Gesamtanzahl an Winkeln, wenn der Kreis einmal umrundet wird -- also zu 360 Grad. Denk darüber mal nach. Der Umfang ist 18 pi groß. Der Umfang ist 18 pi groß. Wir wollen die Länge des Kreisbogens wissen. Ich bezeichne diese nun mit a. a steht für die Länge des Kreisbogens. Danach wollen wir die Gleichung auflösen. Wir wissen, dass der Mittelpunktswinkel 10 Grad groß ist. Wir notieren also 10 Grad geteilt durch 360 Grad. Wir notieren also 10 Grad geteilt durch 360 Grad. Wir können das vereinfachen, indem wir beide Seiten mit 18 pi multiplizieren. beide Seiten mit 18 pi multiplizieren. Wir wissen jetzt, dass die Kreisbogenlänge -- 10/360 ist das Gleiche wie 1/36 -- 1/36 mal 18 pi entspricht. 18 pi geteilt durch 36, was das Gleiche ist wie pi/2. Der Kreisbogen ist also pi/2 Einheiten groß. Der Kreisbogen ist also pi/2 Einheiten groß. Nun folgt ein weiteres Beispiel. Wir betrachten den gleichen Kreis. Das ist der gleiche Kreis. Der Umfang ist immer noch 18 pi. Der Umfang ist immer noch 18 pi. Hinter mir haben ein paar Personen eine Konferenz. Wunder dich nicht, falls Stimmen im Hintergrund hörst. Also, der Umfang ist hier auch 18 pi. Jetzt ist der Mittelpunktswinkel ein stumpfer Winkel. Wir beginnen wieder mit dem Winkel. Das ist die eine Seite des Winkels. Ich zeichne nun einen Winkel ein, der 350 Grad groß ist. Ich muss also fast einmal um das Zentrum gehen. Das sind 350 Grad. Ich bin gespannt wie groß der Kreisbogen ist, der durch diesen Winkel eingeschlossen wird. Ich möchte nun die Länge dieses Kreisbogens bestimmen. Ich möchte die Länge des Kreisbogens berechnen, der durch diesen stumpfen Winkel aufgespannt wird. Wir verwenden nun die gleiche Vorgehensweise -- das Verhältnis von der Länge des Kreisbogens a zu dem Umfang des gesamten Kreises, 18 pi, sollte das Gleich sein, wie das Verhältnis des Mittelpunktswinkel, der 350 Grad groß ist zu dem Gesamtumfang von 360 Grad. Wir multiplizieren beide Seiten mit 18 pi. Wir multiplizieren beide Seiten mit 18 pi. Wir erhalten a ist gleich -- das ist 35 mal 18 geteilt durch 36 pi. 350 geteilt durch 360 ist gleich 35/36. Das ergibt 35 mal 18 mal pi geteilt durch 36. Das ergibt 35 mal 18 mal pi geteilt durch 36. 36 und 18 sind beide durch 18 teilbar, also teilen wir sie durch 18. Wr erhalten 35/2 pi. Ich notiere das -- 35 pi geteilt durch 2. Ich notiere das -- 35 pi geteilt durch 2. Als Dezimalzahl ergibt das 17,5 pi. Ergibt das Sinn? Das ist hier ist andere Kreisbogenlänge. Als unser Mittelpunktswinkel 10 Grad groß war, war der Kreisbogen 0,5 pi lang. Wenn wir nun diese beiden Zahlen addieren, also 0,5 plus 17,5, dann erhalten wir 18 pi, was der Umfang des Kreises ist. Das macht Sinn, weil wenn du 10 Grad und 350 Grad addierst, erhälst du die 360 Grad des Kreises.