Hauptinhalt

Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 8

Lektion 3: Bogenlänge (von Grad)

Anspruchsvolle Aufgabe: Kreisbogenlänge 2

Löse zwei anspruchsvolle Aufgaben. bei denen du das Kreisbogenmaß bestimmen sollst, ohne dass die Kreisbogenlänge gegeben ist,

Aufgabe 1

In der Figur unten beträgt der Radius von Kreis

P

10

Einheiten. Die Bogenlänge von

\overset{⌢}{A B C}

beträgt

16 π

Welches Bogenmaß hat $\overset{⌢}{D C}$ ‍ in Grad?

Wir wollen das Bogenmaß des Bogens herausfinden, der bei Punkt

A

beginnt und bei Punkt

C

endet.

Wir müssen den gesamten Kreisumfang kennen um das Bogenmaß für

\overset{⌢}{A B C}

zu bestimmen.

$\begin{aligned} Umfang & = 2 π r \\ = 2 π (10) \\ = 20 π \end{aligned}$ ‍

Wir kennen die Länge von

\overset{⌢}{A B C}

, daher stellen wir eine Zuordnung auf um dessen Bogenmaß herauszufinden.

$\begin{aligned} \frac{arc length}{Kreisumfang} & = \frac{Bogenmaß}{Grad in einem Kreis} \\ \frac{16 π}{20 π} & = \frac{Bogenmaß}{360^{\circ}} \\ Bogenmaß & = 360^{\circ} \cdot \frac{16 π}{20 π} \\ = 288^{\circ} \end{aligned}$ ‍

Das Bogenmaß von

\overset{⌢}{A B C}

ist

288^{\circ}

Wenn wir den größeren Kreisbogen

\overset{⌢}{A B C}

und den kleineren Kreisbogen

\overset{⌢}{A C}

zusammenfassen, haben wir den ganzen Kreis.

$\begin{array}{r} 288^{\circ} + m \overset{⌢}{A C} = 360^{\circ} \\ m \overset{⌢}{A C} = 72^{\circ} \end{array}$ ‍

Das Maß von $\overset{⌢}{A C}$ ‍ ist $72^{\circ}$ ‍.

Aufgabe 2

In der Figur unten beträgt der Radius von Kreis

P

18

Einheiten. Die Bogenlänge von

\overset{⌢}{B A}

beträgt

14 π

Welches Bogenmaß hat $\overset{⌢}{B C}$ ‍ in Grad?

^{\circ}

Wir wollen das Bogenmaß des Bogens herausfinden, der bei Punkt

B

beginnt und bei Punkt

C

endet.

Wir berechnen zuerst den ganzen Kreisumfang, dann berechnen wir proportional das Bogenmaß, der sich auf die Bogenlänge bezieht.

$\begin{aligned} Umfang & = 2 π r \\ = 2 π (18) \\ = 36 π \end{aligned}$ ‍

Wir kennen die Länge von

\overset{⌢}{B A}

, daher können wir eine Zuordnung aufstellen, um dessen Bogenmaß herauszufinden.

$\begin{aligned} \frac{arc length}{Kreisumfang} & = \frac{Bogenmaß}{Grad in einem Kreis} \\ \frac{14 π}{36 π} & = \frac{Bogenmaß}{360^{\circ}} \\ Bogenmaß & = \frac{14 π}{36 π} \cdot 360^{\circ} \\ = 140^{\circ} \end{aligned}$ ‍

Die Maße von

\overset{⌢}{B C}

und

\overset{⌢}{C A}

ergeben addiert das Maß von

\overset{⌢}{B A}

$m \overset{⌢}{B C} + 76^{\circ} = 140^{\circ}$ ‍

Das Bogenmaß von $\overset{⌢}{B C}$ ‍ ist $64^{\circ}$ ‍.

Willst du an der Diskussion teilnehmen?

Anmelden

Sortiere nach:

Noch keine Beiträge.

Verstehst du Englisch? Klick hier, um weitere Diskussionen auf der englischen Khan Academy Seite zu sehen.