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Arithmetischen Reihen - Formel

Video-Transkript

Ich schreibe eine arithmetische Folge in allgemeiner Form. Wir beginnen mit einer Zahl a. Und wir addieren wiederholt d dazu. Und diese Zahl, die wir dazu addieren, die eine positive oder negative Zahl sein kann, ist unsere Konstante d. Der zweite Term in unserer Folge ist a + d. Der dritte Term in unserer Folge ist a + 2d. Und so addieren wir bis hin zum n-ten Term in unserer Folge. Du siehst hier, dass wir bei unserem ersten Term d 0-mal addiert haben. Bei unserem zweiten Term haben wir d 1-mal addiert. Bei unserem dritten Term haben wir d 2-mal addiert. Du siehst also, dass wir d einmal weniger addieren, als der Index des Terms ist. Wenn wir also beim n-ten Term ankommen, addieren wir d einmal weniger als n-mal. Also (n - 1) ⋅ d. Das hier ist unser n-ter Term. Jetzt möchte ich die Summe dieser arithmetischen Folge herausfinden. Die Summe einer arithmetischen Folge heißt arithmetische Reihe. Eine arithmetische Reihe ist einfach nur die Summe einer arithmetischen Folge. Ich nenne meine arithmetische Reihe Sn. Und sie ist die Summe folgender Terme: a + a + d + a + 2d + ..., bis hin zur Addition des n-ten Terms a + (n - 1)d Jetzt wende ich denselben Trick an wie bei der einfachsten arithmetischen Folge. Ich addiere sie mit sich selbst, aber ich kehre die Reihenfolge um, in der ich diese Summe schreibe. Ich schreibe Sn also in umgekehrter Reihenfolge. Ich schreibe den letzten Term zuerst. Der n-te Term ist a + (n - 1)d. Der vorletzte Term ist a + (n - 2)d. Der drittletzte ist a + (n - 3)d. Und das machen wir so weiter bis zum ersten Term, der einfach nur a ist. Jetzt addieren wir diese beiden Gleichungen. Auf der linken Seite rechnen wir Sn + Sn. Das ergibt 2Sn. Was ist die Summe dieser ersten beiden Terme hier? Ich rechne a + a + (n - 1)d. Also erhalten wir 2a + (n - 1)d. Jetzt addieren wir die nächsten beiden Terme. Was erhalte ich als Ergebnis? Ich erhalte 2a, und was ergibt d + (n - 2)d? Es gibt mehrere Ansätze. Ich schreibe es hier drüben auf. Was ergibt d + (n - 2)d? Es ist dasselbe wie 1d + (n - 2)d. Du kannst also die Koeffizienten addieren. Das ergibt also (n - 2 + 1)d, was (n - 1)d ergibt. Der zweite Term ergibt also ebenfalls 2a + (n - 1)d. Jetzt addieren wir die nächsten beiden Terme. Und ich denke, du wirst hier ein Muster kennen. Wir erhalten 2a, und wenn ich (n - 3) von etwas habe und dann 2 addiere, dann habe ich (n - 1) davon. Also haben wir (n - 1)d. Und wir machen das bis zum n-ten Paar Terme, wo wir diese beiden Ausdrücke hier addieren, die 2a + (n - 1)d ergeben. 2a + (n - 1)d wird also immer und immer wieder addiert. Und wie oft passiert das? Wir haben n Paare an Termen, die wir bei diesen Gleichungen addiert haben. In beiden hatten wir n Terme. Das ist der erste Term, das ist der zweite Term, das ist der dritte Term, bis hin zum n-ten Term. Ich kann also 2Sn umschreiben, da die Summe n-mal diese Menge ist. Sie ergibt n(2a + (n - 1)d). Und wenn wir nach Sn auflösen wollen, dividieren wir einfach beide Seiten durch 2. Und wir erhalten Sn = (n(2a + (n -1)d)) / 2. Jetzt haben wir eine allgemeine Formel, eine Funktion unseres ersten Terms, unserer Konstante und der Anzahl der Terme, die wir addieren. Das ist also die verallgemeinerte Summe einer arithmetischen Folge, die wir arithmetische Reihe nennen. Aber es ist etwas schwierig, sich (n(2a + (n -1)d)) / 2 zu merken. Im letzten Video habe ich dir ein konkreteres Beispiel gezeigt, und gesagt, dass es so aussieht, als könnte die Summe einer arithmetischen Folge vielleicht als Durchschnitt des ersten Terms a1 + des letzten Terms an multipliziert mit der Anzahl der Terme, die du hast, geschrieben werden kann. Stimmt das wirklich? Passen diese beiden Dinge zusammen? Denn das lässt sich sehr einfach merken, der Durchschnitt des ersten und letzten Terms multipliziert mit der Anzahl der Terme, die du hast. Es ergibt intuitiv Sinn, da wir jedes Mal um dieselbe Menge erhöhen. Wir nehmen jetzt den Durchschnitt des ersten und letzten Terms und multiplizieren ihn mit der Anzahl der Terme, die wir haben. Wir müssen das hier nur ein wenig umschreiben, um zu sehen, dass es in der Tat dasselbe ist wie dieser Ausdruck hier drüben. Ich muss nur das a ausklammern. Ich schreibe es um. Sn = n(a + a + (n - 1)d. Ich habe diese 2a in a + a aufgelöst. Und all das wird durch 2 geteilt. Und du siehst, daran, wie wir das hier definiert haben, ist unser erster Term a1 in der Tat a. Und unser letzter Term an ist a + (n - 1)d. Dieser Ausdruck hier ist also wirklich der Durchschnitt des ersten und letzten Terms. Ich habe meinen ersten Term, addiere meinen zweiten Term, und dividiere das Ergebnis durch 2. Und dann multipliziere ich mit der Anzahl unserer Terme. Und hier haben wir bewiesen, dass das für jede arithmetische Folge gültig ist.