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Arithmetische Reihen - Einführung

Video-Transkript

Wir nehmen die einfachste arithmetische Folge und beginnen bei 1, und erhöhen einfach um 1, 1, 2, 3,... bis hin zu n. Ich möchte jetzt die Summe dieser Folge herausfinden. Wir wissen bereits, dass man die Summe einer Folge eine Reihe nennt. Was ist also die Summe Sn? Wir addieren 1 + 2 + 3 ... bis hin zu + n. Ich wende jetzt einen praktischen Trick an, indem ich diese Summe umschreibe. Ich schreibe sie wieder als Sn, aber jetzt schreibe ich sie in umgekehrter Reihenfolge. n + (n - 1) + (n - 2) + .... bis hin zu + 1. Und jetzt addiere ich diese beiden Gleichungen. Wir wissen, dass Sn das hier ergibt, also addieren wir dasselbe zu beiden Seiten dieser Gleichung hier oben. Auf der linken Seite haben wir also Sn + Sn = 2 Sn. Auf der rechten Seite passiert etwas Cooles: Wir haben 1 + n, was einfach nur (n + 1) ergibt, wir haben 2 + (n - 1), was wieder (n + 1) ergibt, und wir haben 3 + (n - 2), was wieder (n + 1) ergibt. Ich denke, du siehst, was hier vor sich geht. Und wir machen das, bis wir diese letzten beiden Terme erreicht haben, bei denen wir wieder ein (n + 1) addieren. Wie viel mal haben wir also (n + 1)? Die Antwort lautet n-mal. Es gab n-mal diese Terme in jeder dieser Gleichungen, 1, 2, 3,... bis hin zu n. Wir können das also als 2Sn umschreiben, und als Ergebnis haben wir n(n + 1) Terme. Um jetzt unsere Summe Sn herauszufinden, dividieren wir einfach beide Seiten durch 2. Übrig bleibt die Summe von 1 bis n, die Summe dieser arithmetischen Folge, bei der wir immer nur um 1 erhöhen und die bei 1 beginnt, lautet also (n(n + 1)) / 2. Und das ist praktisch, da du jetzt schnell die Summe von z.B. von 1 bis 100 finden kannst. Sie ist nämlich (100(101)) / 2. Du kannst also sehr schnell Summen herausfinden. Und im nächsten Video möchte ich herausfinden, ob wir das für jede arithmetische Folge verallgemeinern können. Wir haben mit einer sehr einfachen begonnen, wir haben mit 1 angefangen und immer um 1 erhöht. Und wenn ich es so schreiben würde, dann haben wir (n(n + 1)/2. Dieses n hier drüben ist der n-te Term in unserer Folge. Und diese 1 hier war der erste Term in unserer Folge. Zumindest in diesem Fall sieht es so aus, als hätte ich den Durchschnitt des ersten und des n-ten Terms genommen. Das hier drüben ist also der Durchschnitt von a_1 und a_n, und dann multipliziere ich ihn mit n. Und ich möchte herausfinden, ob es für jede beliebige arithmetische Folge gilt, dass ihre Summe der Durchschnitt der ersten und letzten beiden Terme multipliziert mit der Anzahl der Terme ist.