Bearbeitetes Beispiel: Arithmetische Reihe (rekursive Formel)

Ich werde eine arithmetische Folge rekursiv definieren. Wir sagen, dass der i-te Term einer Folge gleich dem (i - 1)ten Term der Folge + 11 ist. Also ist jeder Term um 11 höher als der Term davor. Wir müssen zuerst einen Ausgangswert definieren, also sagen wir, dass der erste Term unserer arithmetischen Folge gleich 4 ist. Mit dieser rekursiven Definition unserer arithmetischen Folge hier ermutige ich dich nun, die Summe der ersten 650 Terme dieser Folge zu finden. Finde also die Summe der ersten 650 Terme dieser arithmetischen Folge, die wir gerade definiert haben. Pausiere wie immer das Video, und versuche, die Aufgabe zu lösen. Okay, wie lösen wir diese Aufgabe? In einigen Videos reden wir über die Summe einer arithmetischen Folge, und wir haben eine Formel gefunden, mit der wir die Summe einer arithmetischen Folge herausfinden, die wir arithmetische Reihe nennen. Und diese Summe der ersten n Terme besteht aus dem ersten Term plus dem zweiten Term, dividiert durch 2. Das ist also der Durchschnitt des ersten und letzten Terms, multipliziert mit der Anzahl der Terme, die wir haben. Und das ist nur der Fall, wenn es sich um eine arithmetische Reihe handelt, bei der jeder Term, den wir addieren, um eine konstante Menge größer oder kleiner ist als der vorherige Term bzw. wir eine festgelegte Differenz haben. Was ist also hiermit? Was ist der erste und letzte Term und was ist unser n? Wir wissen, dass n = 650 ist, und wir wissen, was unser erster Term ist. Der erste Term ist 4. Wir müssen herausfinden, was der n-te bzw. 650te Term ist. Denken wir ein bisschen darüber nach. Wenn wir die Summe nehmen, dann haben wir 4 + den zweiten Term. a_2 ist also a_1 + 11. Also haben wir 4 + 11, was 15 ergibt. Wir addieren 11, was 26 ergibt, und wir addieren immer weiter 11. Wie viele Male addieren wir 11? Um den zweiten Term zu erhalten, addieren wir 11 genau 1-mal. Um den dritten Term zu erhalten, addieren wir 11 genau 2-mal. Um also den 650ten Term, also a _650 zu erhalten, addieren wir 11 wieviel Mal? Um den zweiten Term zu erhalten, haben wir 1-mal 11 addiert, um den dritten Term zu erhalten, haben wir 2-mal 11 addiert. Um also den 650ten Term zu erhalten, addieren wir 11 genau (650 - 1)-mal, also 649-mal. Beachte: Um den ersten Term zu erhalten, hast du die 11 genau (1 - 1)-mal addiert, also 0-mal die 11 addiert. Du hast mit der 4 angefangen, und die 11 gar nicht addiert. Beim zweiten Term hast du 1-mal 11 addiert. Beim dritten Term hast du 2-mal 11 addiert. Beim vierten Term hast du 3-mal 11 addiert. Beim 650ten Term hast du 649-mal 11 addiert. Was erhältst du also, wenn du 649-mal 11 addierst? 4 + 649 ⋅ 11 ergibt was? Ich benutze meinen Taschenrechner dafür. 649 ⋅ 11 + 4 = 7143. Das ist also der 650te Term. 7143. Und jetzt können wir die Summe herausfinden. Dafür benutze ich den Taschenrechner. Wir rechnen 7143 + 4, was 7147 ergibt. Dann dividieren wir durch 2. Wir erhalten 3573,5. Diese Zahl multiplizieren wir mit 650. Das ist die Anzahl unserer Terme. Unser Endergebnis ist eine sehr große Zahl: 2.322.775. 2.322.775. Ich bin froh, dass ich einen Taschenrechner habe, aber du könntest es auch per Hand ausrechnen. Das ist immer gut. Es schadet nie, das Rechnen zu üben.