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Beweis der Formel der endlichen arithmetischen Reihe

Video-Transkript

Im letzten Video haben wir bewiesen, dass die Summe aller positiven Integer bis hin zu und inklusive n als (n(n + 1)) / 2 ausgedrückt werden kann. Und das haben wir durch Induktion bewiesen. In diesem Video möchte ich dir zeigen, dass es dafür einen einfacheren Beweis gibt, bei dem wir aber keine Induktion verwenden, und der deshalb nicht Teil des anderen Videos ist. Aber ich werde dir zeigen, dass er existiert, damit du weißt, dass Induktion nicht die einzige Beweisart ist. Wir definieren also die Funktion S(n) als die Summe aller positiven Integer bis hin zu und inklusive n. Nach der Definition ergibt das 1 + 2 + 3 .... bis hin zu + (n - 1) + n. Es ist die Summe aller Integer bis hin zu und inklusive n. So definieren wir sie. Wir können sie nochmal umschreiben. Wir könnten S(n) nochmal in einer anderen Reihenfolge aufschreiben. Wir könnten sagen, dass es dasselbe ist wie n + (n - 1) + (n - 2) + .... bis hin zu + 2 + 1. Was bringt uns das? Wir können dadurch diese beiden Reihen addieren. Wenn wir S(n) + S(n) addieren, erhalten wir das Zweifache dieser Summe, also addieren wir links einfach. Und dann addieren wir rechts. Wir addieren diese Summe also zweimal, aber das Interessante ist, wie wir sie addieren. Wir addieren den oberen Term mit dem unteren Term, da wir einfach nur diese beiden Reihen addieren wollen. Und wir können uns jede Art aussuchen, wie wir sie addieren wollen. 1 + n ergibt (n + 1). Dann addieren wir 2 + (n - 1). Was ergibt 2 + (n - 1)? Es ist dasselbe wie 2 + (n - 1), was dasselbe ist wie (n + 1). 2 - 1 ergibt einfach nur 1. Das ergibt also auch (n + 1). Bei diesem Term hier addieren wir 3 + (n - 2), bzw. rechnen n - 2 + 3. Das ergibt wieder (n + 1). Und das machst du für jeden Term, bis du hier drüben ankommst, bei (n - 1) + 2. Das ergibt ebenfalls (n + 1). Und schließlich rechnest du hier drüben n + 1. + (n + 1). Was ergibt diese ganze Summe? Wie viele dieser (n + 1)-Terme habe ich? Wir haben n Stück, für jeden Term in jeder dieser Summen. Das ist also 1, 2, 3, .... bis hin zu n. Wir haben also n Terme. Wir haben also n-mal (n + 1). Wenn du etwas n-mal zu sich selbst addierst, oder du etwas n-mal hast, ist es genau dasselbe wie n(n + 1). So zweimal diese Summe aller positiven Integer bis hin zu und inklusive n ist gleich n(n + 1). Wenn du also beide Seiten durch 2 dividierst, erhalten wir einen Ausdruck für die Summe. Die Summe aller positiven Integer bis hin zu und inklusive n ist also (n(n + 1)) / 2. Das ist also ein Beweis, bei dem wir keine Induktion verwenden mussten. Es ist eher ein rein algebraischer Beweis.