Logarithmischer Maßstab (mit Vi Hart)

VI HART: Hallo, ich bin Vi Hart und ich bin hier mit Sal Khan... SAL KHAN: Hallo. VI HART: Wir sprechen darüber, wie wir über Zahlen nachdenken, und was der natürlichste Weg ist, in unserem alltäglichen Leben über sie nachzudenken. SAL KHAN: Und Val sagte, dass sie mich jetzt testen will. VI HART: Ja. SAL KHAN: Das ist der Bildschirm. SAL KHAN: Du brauchst Übung, Vi. VI HART: Ich brauche Übung. SAL KHAN: Es sieht aus wie eine Pizza. VI HART: Es ist ein Dreieck. SAL KHAN: Okay. Wo ist dein Test, Vi? VI HART: Okay. Wir haben hier einen ganz normalen Zahlenstrahl. Er beginnt bei 1 und geht bis 1 Million. Ich gebe dir jetzt den Stift und frage dich: Wo ist 1000? SAL KHAN: Wo ist 1000? Ich verstehe, worauf du hinauswillst. VI HART: Du kannst logisch darüber nachdenken. SAL KHAN: Ja. Ich sage dir, was mir durch den Kopf ging. Meine erste Reaktion war es, 1000 hierhin zu schreiben. Ich kam in Versuchung, das zu machen. Und dann hat sich mein Gehirn eingeschaltet. Mein hochanalytisches Gehirn. VI HART: Ja, weil du weißt, dass es eine richtige Antwort auf diese Frage gibt. Wir überlegen: Wo ist 1000 auf dem Zahlenstrahl in Relation zu 1.000.000? 1.000.000 dividiert durch 1000 ist 1000. Wir suchen also 1/1000. SAL KHAN: Also ist es nicht dort. Ich wollte es bei 1/10 eintragen. Falsch. 1000 liegt ungefähr hier. Man sieht kaum den Unterschied zwischen den Tausendern. Das ist faszinierend. Woran liegt das? Warum habe ich das gemacht? VI HART: Ja. Warum denken wir, dass 1000 so viel näher an 1.000.000 ist, als sie eigentlich ist? Und wir machen das ständig. Wir sind es nicht gewohnt, über die Differenz zwischen 1000 und 1.000.000 nachzudenken. Aber wenn wir über die Differenz zwischen 1 und 2, 2 und 3 oder 1 und 10 nachdenken, dann wissen wir, dass zwischen 1 und 2 eine große Differenz besteht. 2 ist das Doppelte von 1. VI HART: Und die Differenz zwischen 9 und 10 ist dieselbe Distanz, wenn wir sie im normalen Maßstab betrachten. Und zwar 1. VI HART: Aber wenn wir über den Alltag nachdenken, ist die Differenz zwischen 9 und 10 nicht so groß. SAL KHAN: Genau. Aber die Differenz zwischen 1 und 2 ist riesig. Im Alltag ist es das Doppelte. VI HART: Jetzt müssen wir es also in einem logarithmischen Maßstab betrachten. SAL KHAN: Ja. Mit einem logarithmischen Maßstab. Du sagst also, dass wir Menschen diese linearen Maßstäbe lernen, bei denen wir sagen, dass das 1 ist und das vielleicht 10 und das 20. Das wird uns beigebracht und wir verwenden es. VI HART: Ja. So zeichnen wir normalerweise. Aber es ergibt normalerweise keinen Sinn, wenn es darum geht, über Dinge nachzudenken. Weil z.B. die Differenz zwischen 5.000.000 und 5.000.010 winzig ist. Und die Differenz zwischen 1 und 10 ist riesig. SAL KHAN: Richtig. Und deshalb ist das Vielfache fast wichtiger als die absolute Distanz zwischen den Zahlen. Und das stellt der logarithmische Maßstab dar. VI HART: Ja. Und deshalb sehen wir den logarithmischen Maßstab so oft im echten Leben. Als Musikerin sehe ich ihn auf dem Klavier. Dort haben wir den logarithmischen Maßstab. Ich habe hier ein Bild eines Klaviers. Okay. Mal schauen, ob ich es hinbekomme. Hier haben wir dieses C. Wir nennen es mittleres C. Und hier haben wir dieses D. Und es gibt eine bestimmte Distanz zwischen beiden. Und dann haben wir hier dieses C und dieses D. Und wenn wir uns diese Noten anhören, denken wir, dass sie eine Note voneinander entfernt sind. Das ist dieselbe Distanz zwischen hier und hier, und diesen beiden. Aber wenn wir uns die tatsächlichen Frequenzen anschauen, sind die Distanzen nicht gleich. Vielleicht ist das ein schlechtes Beispiel, da ich die Frequenz von D nicht kenne, aber... Ein Beispiel, für das ich Zahlen geben kann, ist die Differenz zwischen dieser Oktave und die Differenz zwischen dieser anderen Oktave. Wenn das C ist... SAL KHAN: Nenne es x oder was auch immer die Frequenz ist. Es sind ungefähr 440 Kilohertz. Ich weiß es nicht genau. VI HART: Nein. A hat 440. Sagen wir einfach einmal, C hat 300. Wenn das also 300 oder 300x oder einfach nur x ist, dann wäre diese Frequenz 600. Sie verdoppelt sich, wenn wir eine Oktave höher gehen. Und das hier oben wäre 1200, dieses C. Wir haben einen komischen Maßstab, aber die Differenz hier beträgt 300. Und die Differenz zwischen diesen beiden ist 600. Aber wenn wir uns Oktaven anhören, haben wir das Gefühl, dass die Differenz zwischen dieser Oktave nicht die Hälfte der Differenz zwischen diesen beiden Noten sein sollte. Die Distanz von einer Oktave sollte eine Oktave sein. SAL KHAN: Richtig. Die Art, wie wir Tonlagen wahrnehmen, ist also grundsätzlich logarithmisch. VI HART: Sie ist grundsätzlich logarithmisch. Wenn du willst, dass all deine Noten auf dem Klavier direkt nebeneinander sind, anstatt ein Klavier zu haben, bei dem eine Taste für C hier ist, und eine Taste für C hier und das nächste C hier drüben. SAL KHAN: Doppelt so weit entfernt. Klavierhersteller bauen Klaviere also von Natur aus basierend auf einem logarithmischen Maßstab, ob sie es wissen oder nicht. SAL KHAN: Sie hätten es basierend auf einem linearen Maßstab bauen können, und dann würden die Tasten einfach immer breiter werden, wenn wir nach rechts gehen. Jemand sollte ein Klavier nach linearem Maßstab und mit breiten Tasten bauen. VI HART: Das wäre cool, aber so denken wir nicht über Tonlagen nach. SAL KHAN: Es wäre schwierig, es zu spielen. Und es geht nicht nur um Tonlagen, es könnte auch sein, dass wir so eine Menge an Frequenzen wahrnehmen. Denn es gibt die Dezibelskala, die eine logarithmische Skala ist. VI HART: Ja. Es gibt viele natürliche, intuitive logarithmische Skalen. Wenn wir uns anschauen, wie laut etwas ist, ist das auch die Differenz zwischen meiner Stimme, und wie ich spreche, wenn ich etwas lauter bin. Es ist bei Distanzen zwischen Lautstärken auch so. SAL KHAN: Es ist schwieriger zu erklären. Aber wir hören hier auf, wir wollen niemanden stören, indem wir immer und immer lauter werden. Aber es ist faszinierend. Besonders dieses kleine Spiel hier. Das mache ich auf der nächsten Party, auf der ich bin. VI HART: Es ist gut. Und es ergibt Sinn. Wenn wir uns z.B. die Differenz zwischen $1 Millionen und $10 Millionen anschauen. Die Welt folgt diesen Regeln. SAL KHAN: Genau. Es ist ziemlich cool.