Logarithmischer Maßstab

Ich nehme an, dass du lineare Skalen kennst. Das sind die Skalen, die du meistens im Matheunterricht siehst. Damit du weißt, was ich meine, zeichne ich einen linearen Zahlenstrahl. Ich fange bei 0 an. Und wenn ich diese Strecke hier nach rechts gehe, ist es dasselbe, wie 10 zu addieren. Wenn wir also bei 0 beginnen und 10 addieren, dann erhalten wir natürlich 10. Wenn ich diese Strecke nochmal nach rechts gehe, addieren wir wieder 10 und erhalten 20. Und wir könnten so weiter machen und 30, 40, 50 und so weiter erhalten. Jetzt gehen wir in die andere Richtung. Wenn wir hier beginnen und dieselbe Strecke nach links gehen, dann subtrahieren wir 10. 10 - 10 = 0. Wenn wir diese Strecke also wieder nach links gehen, erreichen wir -10. Und wenn wir es nochmal machen, erhalten wir -20. Allgemein gilt also, dass, egal, wie oft wir uns um diese Strecke nach rechts bewegen, wir im Grunde dieses Vielfache von 10 addieren. Wenn wir es zweimal machen, addieren wir 2 ⋅ 10. Und das funktioniert nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für Brüche. Wo wäre 5? 5 ist die Hälfte von 10. Wenn wir also nur die Hälfte von 10 haben wollen, dürfen wir nur die Hälfte der Strecke gehen. Wenn wir also die Hälfte der Strecke haben, dann rechnen wir 1/2 ⋅ 10. In diesem Fall wäre das 5. Wenn wir nach links gehen, würden wir -5 erhalten. Und das ist alles ist nichts Neues. Wir denken nur auf eine neue Art darüber nach, die uns dabei helfen wird, wenn wir über Logarithmen nachdenken. Aber das hier ist der Zahlenstrahl, den du bereits kennst. Wenn wir eine 1 eintragen wollen, würden wir uns 1/10 der Strecke bewegen, da 1 natürlich 1/10 von 10 ist. Hier sind 1, 2, 3, 4, und ich könnte auch jede andere Zahl eintragen. In diesem Fall haben wir 10 addiert oder subtrahiert. Es gibt aber auch andere Wege das zu betrachten, was passiert, wenn wir uns um diese Strecke bewegen. Und darüber denken wir jetzt nach. Ich habe hier noch einen Zahlenstrahl, bei dem es sich um den logarithmischen Zahlenstrahl handelt. Ich beginne diesen logarithmischen Zahlenstrahl bei 1. Und du kannst nach diesem Video darüber nachdenken, warum ich nicht bei 0 anfange. Ich beginne bei 1 und habe immer noch dieselbe Strecke. Aber anstatt zu sagen, dass bei dieser Strecke 10 addiert werden, wenn ich mich nach rechts bewege, sage ich, dass die Strecke, die ich auf diesem neuen Zahlenstrahl erstellt habe, dasselbe ist, wie mit 10 zu multiplizieren. Und wenn ich mich um diese Strecke bewege, beginne ich bei 1 und multipliziere mit 10. Dadurch erhalte ich 10. Und wenn ich dann wieder mit 10 multipliziere, und mich wieder um diese Strecke bewege, multipliziere ich wieder mit 10. Und dann erhalte ich 100. Ich denke, du bemerkst bereits den Unterschied. Und was ist, wenn wir uns um diese Strecke nach links bewegen? Wir haben bereits gesagt, was passiert. Denn wenn wir hier bei 100 anfangen, und uns um diese Strecke nach links bewegen, was passiert dann? Ich dividiere durch 10. 100 / 10 = 10. 10 / 10 = 1. Wenn ich mich also wieder um diese Strecke nach links bewege, dividiere ich wieder durch 10. Dann erhalte ich 1/10. Und wenn ich mich wieder um diese Strecke nach links bewege, erhalte ich 1/100. Egal, wie viele Male ich mich um diese Strecke nach rechts bewege, so viele Male multipliziere ich meinen Anfangswert mit 10. Wenn ich mich also zweimal um diese Strecke nach rechts bewege, das wäre das diese gesamte Strecke hier. Das wäre ⋅ 10 ⋅ 10, was dasselbe ist wie ⋅ 10². Ich multipliziere 10 mit 10, und zwar so oft, wie ich nach rechts gehe. Wenn ich nach links gehe, ist es genauso. Wenn ich zweimal diese Strecke nach links gehe, ist es dasselbe wie zweimal durch 10 zu dividieren. ÷ 10 ÷ 10, was dasselbe ist, wie mit (1/10)² zu multiplizieren, oder durch 10² zu dividieren. Ich hoffe, dieser Prozess ist intuitiv. Du siehst bereits, wozu das nützlich ist. Wir können auf diesem Zahlenstrahl bereits ein viel größeres Spektrum an Dingen abbilden, als auf diesem Zahlenstrahl. Wir können bis zu 100 gehen, und bekommen sogar eine tolle Detailgenauigkeit, wenn wir zu 1/10 und 1/100 kommen. Hier auf der kleineren Skala haben wir keine Detailgenauigkeit, und haben auch keine sehr großen Zahlen. Und wenn wir ein kleines Stück weiter gehen, erreichen wir 1.000, dann kommen wir zu 10.000 und so weiter. Wir können auf diesem Zahlenstrahl also ein sehr viel breiteres Spektrum abbilden. Es ist auch praktisch, dass, wenn wir uns auf diesem linearen Zahlenstrahl eine festgelegte Strecke bewegen, diese Menge addieren oder subtrahieren. Wenn wir uns um diese festgelegte Strecke nach rechts bewegen, addieren wir 2. Wenn wir uns nach links bewegen, subtrahieren wir 2. Wenn wir dasselbe auf einem logarithmischen Zahlenstrahl machen, skalieren wir um einen festgelegten Faktor. Einen festgelegten Faktor verstehen wir am besten exponentiell. Wenn ich es noch nicht eingezeichnet hätte, und mich fragen würde, wo 100 auf diesem Zahlenstrahl liegt, würde ich überlegen, wie viele Male ich 10 mit sich selbst multiplizieren müsste, um 100 zu erhalten. Und das ist die Anzahl der Male, die ich mich um diese Strecke bewegen muss. Ich frage im Grunde: Welchen Exponenten muss 10 haben, damit ich 100 erhalte? Und die Antwort lautet: 2. Und dann würde ich mich zweimal um diese Strecke bewegen, um 100 einzuzeichnen. Oder anders ausgedrückt: log_10 (100) = ?. Und das Fragezeichen ergibt eindeutig 2. Und das sagt uns, dass wir die 100 das Zweifache dieser Strecke nach rechts zeichnen müssen. Und um herauszufinden, wo ich die 2 einzeichne, mache ich genau dasselbe. Ich frage mich, welchen Exponenten 10 haben muss, damit wir 2 erhalten. Also log_10 (2) = ? Wir können unseren Taschenrechner benutzen. Wenn log ohne Basis angegeben ist, dann handelt es sich immer um Basis 10. log (2) ergibt ungefähr 0,3. 0,301. Das ergibt also 0,301. Dadurch wissen wir, dass wir uns um diesen Bruchteil dieser Strecke bewegen müssen, um 2 zu erreichen. Wenn wir uns um die gesamte Strecke bewegen, ist es wie mit 10^1 zu multiplizieren. Aber da wir nur 10^(0,031) haben wollen, wollen wir nur 0,031 dieser Strecke. Also liegt es bei ungefähr 1/3 hiervon. Es ist ein bisschen weniger als 1/3. Wir haben 0,3 und nicht 0,33. Die 2 liegt also ungefähr hier. Allgemein bedeutet diese Strecke auf diesem logarithmischen Zeitstrahl, dass wir mit 2 multiplizieren. Und wenn wir dieselbe Strecke nochmal gehen, haben wir 4. Und wenn wir wieder mit derselben Strecke multiplizieren, multiplizieren wir mit 4. Und wenn wir dieselbe Strecke nochmal gehen, erhalten wir 8. Wo trage ich jetzt die 5 auf diesem Zahlenstrahl ein? Es gibt mehrere Lösungswege. Du könntest herausfinden, was log_10 (5) ist, und herausfinden, wo sie auf dem Zeitstrahl liegt. Oder du könntest bei 10 anfangen, und dich um diese Strecke nach 2 bewegen, was bedeutet, dass du durch 2 dividierst. Wenn ich mich also um diese Strecke nach links bewege, dividiere ich durch 2. Es wird langsam etwas unübersichtlich. Wenn ich also bei 10 anfange und mich um dieselbe Strecke bewege, dividiere ich durch 2. Hier wäre also die 5. Wo zeichne ich die 3 ein? Wir können genauso vorgehen wie bei der 2. Wir fragen uns, welchen Exponenten 10 haben muss, damit wir 3 erhalten. Wir benutzen wieder unseren Taschenrechner. log_10 (3) = 0,477. Also beinahe die Hälfte. Also haben wir beinahe die Hälfte dieser Strecke. Das ist ungefähr hier. Die 3 ist also hier. Wir brauchen noch 6, 7 und 9. Um die 9 zu bekommen, müssen wir nur wieder mit 3 multiplizieren. Hier ist die 3 und wenn wir dieselbe Strecke weitergehen, multiplizieren wir wieder mit 3, also ist die 9 hier. Und wenn wir zu 6 wollen, müssen wir einfach mit 2 multiplizieren. Und wir kennen bereits die Strecke, bei der wir mit 2 multiplizieren, es ist diese hier. Wir multiplizieren das also mit 2, wir haben dieselbe Strecke, und wir erreichen 6. Und wenn du herausfinden willst, wo 7 ist, dann rechnen wir log (7) und erhalten ungefähr 0,85. Die 7 ist also ungefähr hier. Das praktische an der logarithmischen Skala ist, dass sie mehr Platz bietet. Ich habe ein Video mit Vi Hart gemacht, indem sie erklärt, wie wir logarithmische Skalen wahrnehmen. und wie dieser Teil der menschlichen Wahrnehmung funktioniert. Es ist außerdem ziemlich cool, dass, wenn wir eine festgelegte Strecke auf dieser logarithmischen Skala zurücklegen, mit einer festgelegten Konstante multiplizieren. Das komische daran ist, und es ist dir vielleicht hier aufgefallen, dass die Zahlen nicht so angeordnet sind, wie wir sie normalerweise sehen. Es gibt eine große Lücke zwischen 1 und 2, eine kleinere zwischen 2 und 3 und eine noch kleinere zwischen 3 und 4, und eine noch kleinere von 4 zu 5 und eine noch kleinere von 5 zu 6. Und 7, 8 und 9 sind hier reingequetscht, sie sind sehr nahe aneinander und hier ist die 10. Und dann haben wir noch eine große Lücke. Denn wenn du 20 erreichen willst, musst du einfach mit 2 multiplizieren. Wenn wir diese Strecke nochmal gehen, erreichen wir 20. Wenn wir diese Strecke hier gehen, erreichen wir 30, da wir mit 3 multiplizieren. Diese Strecke ist eine x3-Strecke. Wenn du wieder diese Strecke gehst, dann erreichst du 30. Du multiplizierst mit 3. Und dann kannst du dasselbe wieder hier einzeichnen. Ich hoffe, das gibt dir ein Verständnis dafür, warum logarithmische Zahlenstrahlen bzw. logarithmische Skalen so aussehen. Und ich hoffe, du verstehst, warum dieses Wissen nützlich ist.