Benfords Gesetz (mit Vi Hart, 2 von 2)

SAL KHAN: Im letzten Video haben ich und Vi euch ein Phänomen namens "Benford´s Gesetz" vorgestellt. SAL KHAN: Im letzten Video haben ich und Vi euch ein Phänomen namens "Benford´s Gesetz" vorgestellt. SAL KHAN: Im letzten Video haben ich und Vi euch ein Phänomen namens "Benford´s Gesetz" vorgestellt. SAL KHAN: Im letzten Video haben ich und Vi euch ein Phänomen namens "Benford´s Gesetz" vorgestellt. VI HART: Und wir haben uns gefragt, as es damit auf sich hat. SAL KHAN: Die Idee war, dass wir von den Bevölkerungszahlen zufälliger Länder immer die erste SAL KHAN: Die Idee war, dass wir von den Bevölkerungszahlen zufälliger Länder immer die erste Ziffer nehmen und diese nach deren Häufigkeit (1, 2, 3...) grafisch darstellen. Ziffer nehmen und diese nach deren Häufigkeit (1, 2, 3...) grafisch darstellen. Dabei kam heraus, dass die am häufigsten vorkommende Ziffer die 1 war. Dabei kam heraus, dass die am häufigsten vorkommende Ziffer die 1 war. Auch bei phyiskalischen Konstanten im Universum war die 1 die am häufigsten vorkommende Ziffer. Auch bei phyiskalischen Konstanten im Universum war die 1 die am häufigsten vorkommende Ziffer. Auch bei phyiskalischen Konstanten im Universum war die 1 die am häufigsten vorkommende Ziffer. VIHART: Ich wünschte, wir hätten mehr Graphen, die machen Spaß. SAL KAHN: Ja. VI HART: Andere Beispiele wären die Zahlen an der Börse oder etwas anderes. VI HART: Andere Beispiele wären die Zahlen an der Börse oder etwas anderes. SAL KHAN: Ja. Und alles scheint dieser Kurve zu folgen. Und was auch sehr misteriös war -- und das war am Ende unseres letzten Videos -- Und was auch sehr misteriös war -- und das war am Ende unseres letzten Videos -- wenn man sich zusammenhängende Zahlenfolgen wie z.B. die Fibonacci-Folge, oder Zweierpotenzen, wenn man sich zusammenhängende Zahlenfolgen wie z.B. die Fibonacci-Folge, oder Zweierpotenzen, all das entspricht genau den Benford´schen Verteilung. all das entspricht genau den Benford´schen Verteilung. Es passt genau. Nimmt man alle Zweierpotenzen, dann haben etwas über 30% dieser Potenzen die 1 als häufigste Ziffer. Nimmt man alle Zweierpotenzen, dann haben etwas über 30% dieser Potenzen 1 als häufigste Anfangsziffer. Nimmt man alle Zweierpotenzen, dann haben etwas über 30% dieser Potenzen 1 als häufigste Anfangsziffer. Das sind... 17? Ca. 17% davon haben die 2 als deren Anfangsziffer. Ca. 17% davon haben die 2 als deren Anfangsziffer. VI HART: Ja. Allerdings gibt es in diesem Fall eine unendliche Menge Zahlen in jedem Set, damit also schwerer darzustellen. Allerdings gibt es in diesem Fall eine unendliche Menge Zahlen in jedem Set, damit also schwerer darzustellen. SAL KHAN: Aber wenn ihr es austesten wolltet, könntet ihr die ersten 2 Millionen Zweierpotenzen nehmen SAL KHAN: Aber wenn ihr es austesten wolltet, könntet ihr die ersten 2 Millionen Zweierpotenzen nehmen und die prozentualen Anteile berechnen. Das würde euch eine ganz gute Annäherung geben. und die prozentualen Anteile berechnen. Das würde euch eine ganz gute Annäherung geben. und die prozentualen Anteile berechnen. Das würde euch eine ganz gute Annäherung geben. VI HART: Ja. Für mich ist es weniger misteriös. Einerseits passt dies genau mit der Mathematik, andererseits gibt es einem ein gutes Gefühl, da man Einerseits passt dies genau mit der Mathematik, andererseits gibt es einem ein gutes Gefühl, da man dadurch realisiert, dass es etwas gibt, was man näher betrachten kann. dadurch realisiert, dass es etwas gibt, was man näher betrachten kann. SAL KHAN: Man sieht sich das an und beginnt, tiefer darin einzutauchen. SAL KHAN: Man sieht sich das an und beginnt, tiefer darin einzutauchen. Und wie gesagt, im letzten Video haben wir euch gebeten, es zu pausieren und zu überlegen, Und wie gesagt, im letzten Video haben wir euch gebeten, es zu pausieren und zu überlegen, warum das so ist, da wir nämlich dasselbe getan haben. Ein wichtiger Ansatzpunkt hierbei war, als wir die logarithmische Skala betrachtet haben, Ein wichtiger Ansatzpunkt hierbei war, als wir die logarithmische Skala betrachtet haben, von der wir hier unten eine haben. Um es nochmal deutlich zu machen: Die Abstände, die hier zu sehen sind, repräsentieren die 10er-Potenzen. Um es nochmal deutlich zu machen: Die Abstände, die hier zu sehen sind, repräsentieren die 10er-Potenzen. Um es nochmal deutlich zu machen: Die Abstände, die hier zu sehen sind, repräsentieren die 10er-Potenzen. Auf einer linearen Skala wäre das hier 1, das vielleicht eine 2 und das eine 3. Auf einer linearen Skala wäre das hier 1, das vielleicht eine 2 und das eine 3. Oder wenn man sagt, dass das eine 2 sei, wäre das hier eine 1, das eine 10 und das hier eine 20, eine 30 usw... Oder wenn man sagt, dass das eine 2 sei, wäre das hier eine 1, das eine 10 und das hier eine 20, eine 30 usw... Oder wenn man sagt, dass das eine 2 sei, wäre das hier eine 1, das eine 10 und das hier eine 20, eine 30 usw... Aber auf einer logarithmischer Skala sind gleiche Abstände mal 10 oder in diesem Fall 10 hoch n. Aber auf einer logarithmischer Skala sind gleiche Abstände mal 10 oder in diesem Fall 10 hoch n. Also ist das 1:10, dann 10:100, dann 100:1.000. Und man sieht, wie sehr die Zahlen dazwischen verteilt sind, der Abstand zwischen 1 und 2 ist sehr groß. Und man sieht, wie sehr die Zahlen dazwischen verteilt sind, der Abstand zwischen 1 und 2 ist sehr groß. Zwischen 2 und 3 ebenfalls, aber etwas kleiner. Zwischen 3 und 4 immer kleiner und kleiner und kleiner, bis man irgendwann zu 10 kommt. Zwischen 3 und 4 immer kleiner und kleiner und kleiner, bis man irgendwann zu 10 kommt. Und das ist ein sehr wichtiger Anhaltspunkt dafür, was es mit Benford´s Gesetz aus sich hat. Und das ist ein sehr wichtiger Anhaltspunkt dafür, was es mit Benford´s Gesetz aus sich hat. VI HART: Ja. Es passt irgendwie zusammen. Es gibt also eine Verbindung. SAL KHAN: Und es stellt sich heraus -- eine wirklich Erstaunliche Entdeckung -- dass diese Fläche hier SAL KHAN: Und es stellt sich heraus -- eine wirklich Erstaunliche Entdeckung -- dass diese Fläche hier als prozentualer Anteil dieser Gesamtfläche exakt dieser Prozentzahl in unserer Grafik entspricht. als prozentualer Anteil dieser Gesamtfläche exakt dieser Prozentzahl in unserer Grafik entspricht. als prozentualer Anteil dieser Gesamtfläche exakt dieser Prozentzahl in unserer Grafik entspricht. Auch diese Teilfläche, die ca. 17% Anteil an der Gesamtfläche hat, entspricht genau dieser Zahl, Auch diese Teilfläche, die ca. 17% Anteil an der Gesamtfläche hat, entspricht genau dieser Zahl, die hier oben im Diagramm aufgezeichnet ist. Ein wichtige Entdeckung. VI HART: Ja genau, und zumindest für Zweierpotenzen oder die Fibonacci-Folge macht es auf jeden Fall Sinn. VI HART: Ja genau, und zumindest für Zweierpotenzen oder die Fibonacci-Folge macht es auf jeden Fall Sinn. VI HART: Ja genau, und zumindest für Zweierpotenzen oder die Fibonacci-Folge macht es auf jeden Fall Sinn. SAL KHAN: Ja, für alle Potenzen. Nun unser wichtigster Ansatzpunkt bzw. Logik: Wir zeichnen die Zweierpotenzen einfach auf dieser Nun unser wichtigster Ansatzpunkt bzw. Logik: Wir zeichnen die Zweierpotenzen einfach auf dieser logarithmischen Skala auf wie hier. VI HART: Schauen wir, wo sie sitzen. SAL KHAN: Also, probieren wir´s. Die 0te Potenz ist 1. 2 hoch 1 ist 2. Dann kommt man zu 4. Dann zur 8. Dann zur 16, was ungefähr sein müsste. Dann zur 16, was ungefähr sein müsste. Dann landet man bei 32, das ist irgendwo hier. Dann landet man bei 32, das ist irgendwo hier. Das ist 30, also ist 32 hier. Dann kommen wir zu 64. Und das ist also 40, 50, 60. 64 müsste ungefähr hier liegen. Man sieht also, beim Aufzeichnen der Zweitenpotenzen auf dieser logarithmischen Skala, besitzen die Zahlen Man sieht also, beim Aufzeichnen der Zweitenpotenzen auf dieser logarithmischen Skala, besitzen die Zahlen stets den gleichen Abstand zueinander. Auf einer linearen Skala wären die Zahlen weiter und immer weiter voneinander entfernt. Auf einer linearen Skala wären die Zahlen weiter und immer weiter voneinander entfernt. VI HART: Ja. SAL KHAN: Eigentlich immer doppelt so weit entfernt mit jeder Zahl. Aber auf dieser Skala hier sind sie gleich weit voneinander entfernt. Man hat also etwas, was einfach gleichmäßig voranschreitet. Man hat also etwas, was einfach gleichmäßig voranschreitet. Stellt euch vor, ihr lauft hier entlang, wie auf einem Gehsteig, der die Form einer logarithmischen Skala hat. Stellt euch vor, ihr lauft hier entlang, wie auf einem Gehsteig, der die Form einer logarithmischen Skala hat. Die Wahrscheinlichkeit eines Schrittes (bei vielen vielen Schritten), den man in den Block zwischen 1 und 2 setzt, Die Wahrscheinlichkeit eines Schrittes (bei vielen vielen Schritten), den man in den Block zwischen 1 und 2 setzt, oder zwischen 10 und 20, ist deutlich höher als die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Schritt in den Block oder zwischen 10 und 20, ist deutlich höher als die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Schritt in den Block zwischen 9 und 10 soder zwischen 10 und 20, ist deutlich höher als die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Schritt in den Blocketzt. zwischen 9 und 10 setzt. VI HART: Genau, wenn einen Zufallspunkt hier nimmt, fällt man eher in einen Bereich beginnend mit 1. VI HART: Genau, wenn einen Zufallspunkt hier nimmt, fällt man eher in einen Bereich beginnend mit 1. SAL KHAN: Ja, eine dieser Bereiche, die mit 1 beginnen. Also zwischen 1 & 2 oder 10 & 20 oder 100 & 200 usw... SAL KHAN: Ja, eine dieser Bereiche, die mit 1 beginnen. Also zwischen 1 & 2 oder 10 & 20 oder 100 & 200 usw... SAL KHAN: Ja, eine dieser Bereiche, die mit 1 beginnen. Also zwischen 1 & 2 oder 10 & 20 oder 100 & 200 usw... VI HART: Bei gleichmäßigen Schritten erhält man diese Verteilung, außer es handelt sich um Spezialfälle. VI HART: Bei gleichmäßigen Schritten erhält man diese Verteilung, außer es handelt sich um Spezialfälle. VI HART: Bei gleichmäßigen Schritten erhält man diese Verteilung, außer es handelt sich um Spezialfälle. VI HART: Bei gleichmäßigen Schritten erhält man diese Verteilung, außer es handelt sich um Spezialfälle. SAL KHAN: Die Leuten laufen logarithmisch. [LACHT] VI HART: Ja, wenn man von 1 zu 10 läuft, also die Schritte 10 lang sind... SAL KHAN: Genau, in Spezialfällen, ja. SAL KHAN: Genau, in Spezialfällen, ja. VI HART: Das passiert hier. SAL KHAN: Wenn die Schritte 10 lang sind-- SAL KHAN: Wenn die Schritte 10 lang sind-- Genau. Aber wenn man auch nur leicht abweicht von diesem Konzept, dann erhält man die Verteilung. Aber wenn man auch nur leicht abweicht von diesem Konzept, dann erhält man die Aber wenn man auch nur leicht abweicht von diesem Konzept, dann erhält man die VI HART: Ja, man schreitet alles ab. VI HART: Ja, man schreitet alles ab. SAL KHAN: Benford´s Verteilung. VI HART: Benford´s Verteilung. SAL KHAN: Jetzt, auch nachdem wir wissen, warum das alles so ist, ist es immer noch faszinierend. SAL KHAN: Jetzt, auch nachdem wir wissen, warum das alles so ist, ist es immer noch faszinierend. VI HART: Genau. Das erklärt es für diese Zahlenreihen. SAL KHAN: Ja. VI HART: Nun müssen wir das noch in die reale Welt übertragen. VI HART: Nun müssen wir das noch in die reale Welt übertragen. SAL KHAN: Die Grundidee war bei den Zahlen der Weltbevölkerung SAL KHAN: Die Grundidee war bei den Zahlen der Weltbevölkerung Und Benford´s Verteilung scheint bei Zahlensystemen zu funktionieren, welche exponentiell wachsen. Und Benford´s Verteilung scheint bei Zahlensystemen zu funktionieren, welche exponentiell wachsen. VI HART: Ja. SAL KHAN: Wie etwa Zweierpotenzen. VI HART: Wie etwa Zweierpotenzen. SAL KHAN: Wie etwa Zweierpotenzen. Und Bevölkerungszahlen wachsen exponentiell. VI HART: Ja. Und in der Finanzwelt wächst vieles ebenfalls exponentiell. SAL KHAN: Ja. Oder fallen exponentiell. In jedem Fall. [LACHT] SAL KHAN: Aber es scheint generell exponentiell zu arbeiten. Man wächst jedes Jahr um 10%. Das ist ein exponentieller Pfad. Faszinierend sind auch physikalische Konstanten. Und wir sind uns nicht 100% sicher, warum das so ist. VI HART: Nein. Für mich immer noch verrückt. SAL KHAN: Wir haben hier nur Theorien. Die Grundidee ist, dass diese physikalische Konstanten ja auch von den verwendeten Einheiten abhängen. Die Grundidee ist, dass diese physikalische Konstanten ja auch von den verwendeten Einheiten abhängen. Die Grundidee ist, dass diese physikalische Konstanten ja auch von den verwendeten Einheiten abhängen. Sie hängen von vielen Dingen ab. Ich habe ein paar einfache Theorien, aber ich lasse euch selbst sich darüber Gedanken machen. Ich habe ein paar einfache Theorien, aber ich lasse euch selbst sich darüber Gedanken machen. VI HART: OK. SAL KAHN: Alles klar? Ich hoffe, euch hat das gefallen.