Benfords Gesetz (mit Vi Hart, 1 von 2)

SAL KHAN: Ich freue mich sehr, Vi Hart hier in unserem Büro begrüßen zu dürfen. SAL KHAN: Ich freue mich sehr, Vi Hart hier in unserem Büro begrüßen zu dürfen. Wir hatten vorhin bereits eine mathematische Konversation. Wir hatten vorhin bereits eine mathematische Konversation. Und dabei hat sie etwas faszinierendes erwähnt. VIHART: Ja genau, ich habe Sal von einer interessanten Sache namens Benford´s Gesetz erzählt. VIHART: Ja genau, ich habe Sal von einer interessanten Sache namens Benford´s Gesetz erzählt. SAL KHAN: Benford´s Gesetz - was ist das denn? SAL KHAN: Benford´s Gesetz - was ist das denn? VI HART: Es ist ein seltsames Phänomen, das auftritt, wenn wir Zahlen aus der realen Welt betrachten. VI HART: Es ist ein seltsames Phänomen, das auftritt, wenn wir Zahlen aus der realen Welt betrachten. Hier haben wir z.B. diese Graphen. Nehmen wir die Bevölkerungszahlen aller Länder und betrachten die 1. Ziffer dieser Bevölkerungszahl. Nehmen wir die Bevölkerungszahlen aller Länder und betrachten die 1. Ziffer dieser Bevölkerungszahl. Nehmen wir die Bevölkerungszahlen aller Länder und betrachten die 1. Ziffer dieser Bevölkerungszahl. Egal, ob 1 Million, 1.000 oder 100.000, die Zahl beginnt immer mit der Ziffer 1. Egal, ob 1 Million, 1.000 oder 100.000, die Zahl beginnt immer mit der Ziffer 1. Wir zählen also alle Länder, deren Bevölkerungszahl mit der Ziffer 1 beginnt. Und das müssten hier 27 sein. SAL KAHN: Ja, genau 27. Also alle, die mit einer 1 beginnen. SAL KAHN: Ja, genau 27. Also alle, die mit einer 1 beginnen. Es kann also ein Land sein mit einer Bevölkerungszahl von 1 oder 17 oder auch 1 Milliarde, 100 Millionen usw... Es kann also ein Land sein mit einer Bevölkerungszahl von 1 oder 17 oder auch 1 Milliarde, 100 Millionen usw... Es kann also ein Land sein mit einer Bevölkerungszahl von 1 oder 17 oder auch 1 Milliarde, 100 Millionen usw... All diese fallen hier in diese Kategorie. VI HART: Genau. Und wenn die Zahl mit einer 2 beginnt, landen sie hier in der 2. Kategorie usw... Und wenn die Zahl mit einer 2 beginnt, landen sie hier in der 2. Kategorie usw... SAL KHAN: Nimm eine dunklere Farbe... SAL KHAN: Nimm eine dunklere Farbe... VI HART: Ja, diese Farbe sieht man besser. SAL KHAN: Blau ist besser für den Kontrast... VI HART: Nun, man denkt sich doch jetzt sicher, dass das hier doch nur ein paar zufällige Zahlen hier sind. VI HART: Nun, man denkt sich doch jetzt sicher, dass das hier doch nur ein paar zufällige Zahlen hier sind. SAL KHAN: Ja, für die 1. Ziffer, es sieht nach zufälligen Zahlen aus. SAL KHAN: Ja, für die 1. Ziffer, es sieht nach zufälligen Zahlen aus. VI HART: Genau. Die Unterschiede in den Bevölkerungszahlen der Länder sind schließlich riesig. Manche haben 1 Milliarde und manche - keine Ahnung, was das bevölkerungsärmste Land ist. Manche haben 1 Milliarde und manche - keine Ahnung, was das bevölkerungsärmste Land ist. SAL KHAN: Ja, wahrscheinlich Montenegro oder so... SAL KHAN: Ja, wahrscheinlich Montenegro oder so... VI HART: Ja... also - VI HART: Ja... also - SAL KHAN: Moment, ist Montenegro überhaupt ein Land? Was denke ich gerade? SAL KHAN: Moment, ist Montenegro überhaupt ein Land? Was denke ich gerade? Ich denke an das Land an der französischen Riveira. Egal, das können wir rausschneiden! [Gelächter] VI HART: Ich weiß nicht. Mich würden die Bevölkerungszahlen der verschiedenen Länder usw. interessieren. Mich würden die Bevölkerungszahlen der verschiedenen Länder usw. interessieren. SAL KHAN: Ich glaube, der Vatikan ist das kleinste Land. VI HART: Ja, genau. Zählt das überhaupt dazu? Zählt das überhaupt dazu? SAL KHAN: Ich denke, der Vatikan zählt dazu, ja. SAL KHAN: Ich denke, der Vatikan zählt dazu, ja. VI HART: Ich kenne nicht die Voraussetzungen, die erfüllt werden müssen, um... VI HART: Ich kenne nicht die Voraussetzungen, die erfüllt werden müssen, um... SAL KHAN: Aber der Vatikan wäre dabei. Das wären eine Bevölkerung von so ca. 1.000. SAL KHAN: Aber der Vatikan wäre dabei. Das wären eine Bevölkerung von so ca. 1.000. VI HART: Genau. Und warum passiert das? Warum sieht man mehr 1er als 2er? Was geht hier vor? SAL KHAN: Ja. Und das ist keine Seltenheit. Wir haben ja von vorhin darüber geredet, dass es wahrscheinlicher ist, Wir haben ja von vorhin darüber geredet, dass es wahrscheinlicher ist, ungerade Hausnummern zu haben statt gerade. ungerade Hausnummern zu haben statt gerade. VI HART: Ja, davon habe ich erst neulich erfahren, das macht Sinn. VI HART: Ja, davon habe ich erst neulich erfahren, das macht Sinn. SAL KHAN: Das macht tatsächlich Sinn, da fast alle Häuser vorne die Zahl 1 stehen haben, bzw. eine 10. SAL KHAN: Das macht tatsächlich Sinn, da fast alle Häuser vorne die Zahl 1 stehen haben, bzw. eine 10. VI HART: Ja, jede Straße beginnt mit Haus 1, Haus 2, Haus 3... VI HART: Ja, jede Straße beginnt mit Haus 1, Haus 2, Haus 3... Bei einer ungeraden Anzahl Häuser hat die Straße auch mehr Häuser mit ungeraden Hausnummern. Bei einer ungeraden Anzahl Häuser hat die Straße auch mehr Häuser mit ungeraden Hausnummern. SAL KHAN: Genau. Und bei einer geraden Zahl hat man dieselbe Anzahl. VI HART: Richtig. SAL KHAN: Richtig. VI HART: Aber das hier beginnt mit einer 1, seltsam. Hier jedoch, beginnen die Bevölkerungszahlen nicht mit einer 1. SAL KHAN: Genau. Und das Phänomen bei den Straßen, das ist kein ausergewöhnliches Phänomen. Und das Phänomen bei den Straßen, das ist kein ausergewöhnliches Phänomen. Das ist ca. 50,0x. Man hat eine leicht höhere Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Hausnummer Das ist ca. 50,0x. Man hat eine leicht höhere Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Hausnummer bzw. eine 1 zu haben, als andere. VI HART: Ja, das ist in etwa das, was man erwartet. SAL KHAN: Ja, ganz genau. Aber hier ist die Wahrscheinlichkeit deutlich höher, dass die Bevölkerungszahl eines zufälligen Landes Aber hier ist die Wahrscheinlichkeit deutlich höher, dass die Bevölkerungszahl eines zufälligen mit der Ziffer 1 beginnt anstatt mit einer 8 oder einer 9. mit der Ziffer 1 beginnt anstatt mit einer 8 oder einer 9. Das ist wirklich ein wenig seltsam. VI HART: Ja. Und das passiert nicht nur bei Ländern. VI HART: Ja. Und das passiert nicht nur bei Ländern. Dasselbe sieht man beim Betrachten von Statistiken im Bereich Finanzen, Geld usw. Z.B. wieviel Umsatz macht ein Unternehmen. SAL KHAN: Genau. Die 1er als erste Ziffer kommt viel öfter vor. SAL KHAN: Genau. Die 1er als erste Ziffer kommt viel öfter vor. VI HART: Viel öfter, ja. Und hier haben wir einen weiteren raffinierten Graphen. Wirklich verrückt. Und hier haben wir einen weiteren raffinierten Graphen. Wirklich verrückt. Mit welcher Ziffer beginnen meistens physikalische Konstanten? Was für ein Beispiel gibt es denn für physikalische Konstanten? SAL KHAN: Ich bin mir nicht sicher, was genau für Konstanten hier abgebildet sind, ich nehme an, das sind SAL KHAN: Ich bin mir nicht sicher, was genau für Konstanten hier abgebildet sind, ich nehme an, das sind Dinge wie die Gravitationskonstante oder z.B. die Planckkonstante Dinge wie die Gravitationskonstante oder z.B. die Planckkonstante Das sieht mir ein wenig verrückt aus, da die Konstanten auch von den verwendeten Einheiten abhängen. Das sieht mir ein wenig verrückt aus, da die Konstanten auch von den verwendeten Einheiten abhängen. Es hängt von vielen Faktoren ab, die man alle berücksichtigen muss. Es hängt von vielen Faktoren ab, die man alle berücksichtigen muss. Aber selbst wenn man diese teils willkürlichen physikalischen Konstanten nutzt, was ich hier annehme, Aber selbst wenn man diese teils willkürlichen physikalischen Konstanten nutzt, was ich hier annehme, dann ist die am häufigsten vorkommende Ziffer in diesen physikalischen Konstanten zumeist die 1. dann ist die am häufigsten vorkommende Ziffer in diesen physikalischen Konstanten zumeist die 1. Es folgt fast exakt Benford´s Gesetz. Man kriegt irgendwie Gänsehaut davon. VI HART: Ja. Und die Herausforderung hier ist also -achja nebenbei- Benford ist der Mann mit der Brille. SAL KAHN: Ja stimmt. Bevor ihr euch wundert. Das sind nicht beide-- Das sind nicht beide-- VI HART: Die beiden sind nicht beide Benford. SAL KHAN: Das sind nicht Benford vor und nach dem Rasieren. Nein. Das hier ist Benford. Offensichtlich wurde das hier nach ihm benannt, Benford´s Gesetz. Nun, dieser Gentleman hier, der nicht rasiert ist- VI HART: Ja, der Typ mit dem Bart, das ist Simon Newcomb. SAL KHAN: Simon Newcomb. VI HART: Nicht Duke Nukem. SAL KHAN: Nicht Duke Nukem. Wir haben sein Foto hier, da er der Erste war, der Benford´s Gesetz aufgestellt hat. Wir haben sein Foto hier, da er der Erste war, der Benford´s Gesetz aufgestellt hat. Er hat es allerdings nicht "Benford´s Gesetz" genannt. VI HART: Und er hatte der schöneren Bart. SAL KHAN: Und er hatte, ja - er hatte insgesamt den imponierenden Charakter. SAL KHAN: Und er hatte, ja - er hatte insgesamt den imponierenden Charakter. Zumindest für mich. Er sieht ein wenig aus wie Harry Truman. Villeicht ist das sogar Harry. Ich weiß nicht. Villeicht ist das sogar Harry. Ich weiß nicht. Vielleicht ist das hier das falsche Foto. Wie auch immer-- VI HART: Die Frage ist, wie richtig ist dieses Gesetz? Wir haben hier diese willkürlich zufälligen Daten, in denen wir einige Fluktuationen sehen. Wir haben hier diese willkürlich zufälligen Daten, in denen wir einige Fluktuationen sehen. In einem Land beispielweise, gibt es-- SAL KHAN: Es ist der Kurve hier sehr ähnlich. SAL KHAN: Es ist der Kurve hier sehr ähnlich. VI HART: Ja, und dabei ist unsere Sitchprobengröße sehr niedrig. VI HART: Ja, und dabei ist unsere Sitchprobengröße sehr niedrig. VI HART: Ja, und dabei ist unsere Sitchprobengröße sehr niedrig. VI HART: Ja, und dabei ist unsere Sitchprobengröße sehr niedrig. SAL KHAN: Es gibt so ca. 200 Länder oder so. SAL KHAN: Es gibt so ca. 200 Länder oder so. SAL KHAN: Es gibt so ca. 200 Länder oder so. Die Zahl ist um ca. 50 gestiegen. Nach dem Ende der Sowjetunion usw. Aber es ist keine große Anzahl an Ländern. Und selbst bei den Physikalischen Konstanten, ich weiß nicht, wie viele Konstanten hier willkürlich Und selbst bei den Physikalischen Konstanten, ich weiß nicht, wie viele Konstanten hier willkürlich angesammelt sind, aber sie sehen der Kurve von Benford´s Gesetz erschreckend ähnlich. Aber es gibt einen direkteren Weg, Benford´s Gesetz zu untersuchen. VI HART: Genau. Schauen wir uns diesen Graphen hier unten an, das ist sozusagen das reine Benford´s Gesetz. Schauen wir uns diesen Graphen hier unten an, das ist sozusagen das reine Benford´s Gesetz. SAL KHAN: Das reine Benford´s Gesetz. Das ist die Kurve, die der oberen Kurve, bestehend aus Rohdaten, ein wenig ähnlich sieht. Das ist die Kurve, die der oberen Kurve, bestehend aus Rohdaten, ein wenig ähnlich sieht. Das Erstaunliche hier ist, dass wenn wir mathematische Konstrukte wie z.B. eine Potenz von 2 nehmen, oder-- Das Erstaunliche hier ist, dass wenn wir mathematische Konstrukte wie z.B. eine Potenz von 2 nehmen, oder-- Das Erstaunliche hier ist, dass wenn wir mathematische Konstrukte wie z.B. eine Potenz von 2 nehmen, oder-- VI HART: Oder die Fibonacci-Folge. Hier addiert man alle diese Zahlen nacheinander auf und-- Hier addiert man alle diese Zahlen nacheinander auf und-- SAL KHAN: Und dann nimmt man einfach die 1. Ziffer-- VI HART: Nur die 1. Ziffer... SAL KHAN: ...und sammelt sie in diesen Stapeln. Das Ergebnis sähe dann genau so wie Benford´s Gesetz aus. Kein Abweichung. Es ist exakt-- VI HART: Genau, mathematisch. SAL KHAN: Mathematisch. Nehmen wir ein Beispiel, weil es wirklich faszinierend ist. Man steigert einfach die Potenz stetig um 1: Dann kriegt man 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64... Ich mache mal weiter, damit ihr seht, von was wir da sprechen. Ich mache mal weiter, damit ihr seht, von was wir da sprechen. ...128, 256, 512. Und so geht es weiter, immer die Potenz um 1 erhöhen. Und so geht es weiter, immer die Potenz um 1 erhöhen. Wieviele dieser Zahlen beginnt mit der Ziffer 1? Wieviele dieser Zahlen beginnt mit der Ziffer 1? Die häufigste Anfangsziffer hier wäre die 1. Diese Zahl beginnt mit einer 1, ebenso wie diese und diese... Diese Zahl beginnt mit einer 1, ebenso wie diese und diese... Daraus ergibt sich der prozentuale Anteil der Zahlen, die mit einer 1 beginnen. Diesen stellt man dann grafisch in einem entsprechenden Chart dar. Diesen stellt man dann grafisch in einem entsprechenden Chart dar. Dann schaut man sich die Zahlen an die mit der Ziffer 2 beginnen. Diese Zahl beginnt mit einer 2, ebenso wie diese... Diese Zahl beginnt mit einer 2, ebenso wie diese... Damit kann man ewig weitermachen, z.B. ein Computerprogramm könnte das für uns erledigen. Damit kann man ewig weitermachen, z.B. ein Computerprogramm könnte das für uns erledigen, wenn wir in einen sehr hohen Potenzbereich kommen. Dann geht man wieder her und schaut sich an, wieviele dieser Quadratzahlen beginnen mit der Ziffer 2? Dann geht man wieder her und schaut sich an, wieviele dieser Quadratzahlen beginnen mit der Ziffer 2? Das Gleiche mit diesem Balken ganz rechts, das ist der prozentuale Anteil der Zahlen, die mit einer 9 beginnen. Das Gleiche mit diesem Balken ganz rechts, das ist der prozentuale Anteil der Zahlen, die mit einer 9 beginnen. Und die gesamte Grafik würde letztlich perfekt Benford´s Gesetz entsprechen. Das sieht nach Zauberei aus. VI HART: Ja, wirklich magisch. SAL KHAN: Und das gilt nicht nur für Zahlen mit der Potenz 2. Das gilt auch für andere Potenzen. VI HART: Fast jede Potenzzahl. Es gibt auch Ausnahmen. SAL KHAN: Ich dachte jede Zahl-- SAL KHAN: Ich dachte jede Zahl-- VI HART: Naja, nicht die 1. SAL KHAN: 1 funktioniert nicht. VI HART: 10 geht z.B. auch nicht. SAL KHAN: Potenzen mit 10 gehen auch nicht, ja. Aber so ziemlich jede andere Zahl-- VI HART: Die Zahl 0. SAL KHAN: Ja. Du hast recht. SAL KHAN: Ja. Du hast recht. Aber die meisten Zahlen gehen. VI HART: Genau. Es gibt ein paar Zahlen, die nicht gehen. Es gibt ein paar Zahlen, die nicht gehen. SAL KHAN: Ja, richtig. Aber bei jeder anderen Zahl würde man Benford´s Verteilung erhalten. Wir möchten euch zum Nachdenken motivieren, warum das denn so ist. Wenn Ihr möchtet, schreibt eure Überlegungen und Ideen in die Kommentarbox bei Youtube oder auf unserer Webseite. Wenn Ihr möchtet, schreibt eure Überlegungen und Ideen in die Kommentarbox bei Youtube oder auf Wenn Ihr möchtet, schreibt eure Überlegungen und Ideen in die Kommentarbox bei Youtube oder auf Denkt zunächst selbst darüber nach. Dann präsentieren wir euch eine plausible Erklärung. Vielleicht haben wir unterschiedliche Ideen. VI HART: Ja. SAL KHAN: Wir lassen euch nun mit diesen Gedanken und hören uns im nächsten Video, in dem wir SAL KHAN: Wir lassen euch nun mit diesen Gedanken und hören uns im nächsten Video, in dem wir unsere eigene intuitive Überlegung, warum es funktioniert, präsentieren.