Graphen von Exponentialfunktionen (altes Beispiel)

Wir haben hier 4 Graphen und 4 Funktionsdefinitionen. Ich möchte, dass du das Video pausierst, und darüber nachdenkst, welche Graphen zu welchen Funktionsdefinitionen gehören. Ich nehme mal an, du hast es probiert. Wir gehen sie nacheinander durch und überlegen, wie der Graph dazu aussieht. Am einfachsten ist es, wenn man überlegt, was passiert, wenn x = 0 ist, insbesondere wenn x wie hier ein Exponent ist. Wir haben hier y(0) = 2 - (1/3)^0. Das ergibt 2 - 1. (1/3)^0 = 1 und wir erhalten 1 als Endergebnis. In welchem dieser Graphen haben wir bei x = 0 den Punkt y = 1? Hier haben wir bei x = 0 den Punkt y = -1. Hier haben wir bei x = 0 auch y = -1. Hier haben wir bei x = 0 den Punkt y = 1, das wäre also ein möglicher Graph. Hier haben wir ebenfalls bei x = 0 den Punkt y = 1, also bleiben zwei mögliche Graphen für diese Funktionsdefinition hier übrig. Jetzt denken wir über das Verhalten dieser Funktion nach. Wir überlegen, was passiert, wenn x eine sehr große Zahl ist. Wir nehmen z.B. y(1000), obwohl 1000 nicht einmal eine so große Zahl ist. Dann haben wir 2 - (1/3)^1000. (1/3)^1000 ergibt eine sehr, sehr, sehr kleine Zahl. Wir multiplizieren tausendmal 1/3 miteinander, und erhalten eine Zahl, die sehr nahe an 0 ist. Ich schreibe es auf. Dieser Teil hier ist sehr nahe an 0. Wenn x größer wird, strebt dieser Teil gegen 0. Das kommt 0 sehr nahe. y(1000) kommt also 2 sehr nahe. Anders gesagt: Je größer x wird, desto mehr nähert sich dieser Teil 0, also hast du 2 und subtrahierst einen Wert, der 0 immer näher kommt. Wenn x also immer größer wird, strebt y gegen 2. Welche dieser beiden Graphen zeigt dieses Verhalten? Es ist eindeutig der rechte. Wenn x immer größer wird, sehen wir, dass y der 2 immer näher kommt. Der Graph hier drüben ist also y = 2 - (1/3)^x. Wir könnten auch über sein Verhalten nachdenken, wenn x immer kleiner bzw. negativer wird. Wenn wir hier 1/3 mit einem stark negativen Exponenten haben, ist es dasselbe wie 3 mit einem stark positiven Exponenten zu haben. Je negativer x wird, desto mehr gleicht dieser Term einer 3 mit einem immer positiveren Wert, den wir von 2 subtrahieren, also wird y immer negativer. Wir sehen, dass je negativer x wird, desto negativer wird y. Das stimmt also auch überein. Jetzt schauen wir uns die nächste Funktion an. Hier sehen wir, dass y = (1/2)^x - 2 ist. Zuerst überlegen wir, was y (0) ist. y(0) = (1/2)^0 - 2, was 1 - 2 ergibt, also -1. Diese beiden wären also mögliche Graphen für diese Funktion hier. Wenn x = 0, dann ist y = -1. Kommen wir zum Verhalten dieser Funktion. Wenn x immer größere Werte annimmt, gegen was strebt dann y? Genauso wie hier, haben wir einen Bruch. Wir haben 1/2 mit einem immer größer werdenden Exponenten. Wenn der Exponent immer größer wird, strebt dieser Teil gegen 0. Wir multiplizieren 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2....., wir nähern uns also ziemlich schnell 0. Das strebt gegen 0 und y strebt gegen -2. Wenn x immer größer wird, strebt (1/2)^x gegen 0, und y nähert sich -2 von oben. Welcher Graph passt dazu? Sieht so aus, als wäre es der hier. Das waren unsere beiden Möglichkeiten. Wenn x = 0 ist, dann ist y = -1. Hier sehen wir, dass wenn x immer größer wird, y gegen -2 strebt, da dieser Teil immer kleinere Werte annimmt. Das ist also dieser Graph. Du könntest auch über sein Verhalten nachdenken, wenn x immer negativer wird. Wenn x immer negativer wird, ist es so, als hätten wir eine 2 mit einem positiven Exponenten. Je negativer x wird, desto größer wird y. Noch zwei übrig. y = 2^x. Das ist die einfachste Funktion von allen. y = 2^x. Wenn x = 0 ist, dann ist y = 1. Wir sehen, dass es dieser Graph hier ist. Das ist der einfachste Typ einer Exponentialfunktion. Je größer x wird, desto größer wird y. Das ist die klassische Form eines Exponentialgraphen. Wenn x immer negativer wird, dann hat 2 einen stark negativen Wert im Exponenten. Stell dir also y(-10) vor. Das ist nicht einmal so negativ. Das wäre 2^(-10), was dasselbe ist wie (1/2)^10. Je negativer x wird, desto mehr nähert sich dieser Ausdruck 0. Das ist eindeutig dieser Graph. Durch das Ausschlussverfahren wissen wir, dass diese Funktion zu diesem Graphen gehört, aber wir schauen uns trotzdem die Gründe an. Hier ist die Operatorreihenfolge wirklich wichtig. -3^x ist vielleicht etwas verwirrend. Ist es (-3)^x oder -(3^x)? Hier ist die Operatorreihenfolge wichtig, denn Exponentiale haben nach Klammern die höchste Priorität. Also wird das Exponential zuerst berechnet. Du nimmst 3^x und dann das Negative davon. Wir haben also eine klassische Exponentialfunktion, aber wegen des negativen Vorzeichens wird sie entlang der x-Achse gespiegelt. Das ist dieser Graph hier drüben. Wenn x immer größer wird, wird 3^x ein immer größerer Wert, von dem wir dann das Negative nehmen, also wird y immer kleiner. Und wenn x immer negativer wird, strebt 3^x gegen 0. Wenn x = 0 ist, dann ist 3^0 = 1, aber wir haben das negative Vorzeichen, also ist y = -1. Das ist also y = -3^x.