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Grafische Darstellung von Exponentialfunktionen

Sal zeichnet y=-2*3ˣ+5 mit unserem interaktiven Zeichenwerkzeug.

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Video-Transkript

Wir sollen den Graphen von y = -2 ⋅ 3^x + 5 darstellen. Es handelt sich eindeutig um eine Exponentialfunktion. Wir wollen jetzt ihr Verhalten herausfinden, wenn x stark negativ oder stark positiv ist. Wenn x stark negativ ist, und die 3 einen stark negativen Exponenten hat, z.B. 3^(-3), das wäre -1/27 oder 3^(-4), das wäre -1/81. Das wird also immer kleiner. Es strebt gegen 0, je negativer x wird. Und da es gegen 0 strebt, strebt das alles gegen 0. Wenn dieser erste Teil gegen 0 strebt, dann strebt dieser ganze Ausdruck gegen 5. Wir haben also eine horizontale Asymptote, gegen die wir streben, wenn wir nach links gehen. Je negativer x wird, desto mehr streben wir gegen 5. Und je größer x wird, desto exponentieller wächst 3^x an. Aber dann multiplizieren wir es mit -2, also wird es immer stärker negativ. Und dann addieren wir eine 5. Das hier sieht wie eine Gerade aus. Wir wollen aber ein Exponential darstellen. Jetzt suchen wir das Exponential in Bezug auf x. Da ist es. Wir können drei Dinge verschieben. Wir können diesen Punkt verschieben, es muss nicht einmal nur der y-Achsenabschnitt sein, obwohl es nützlich ist, diesen herauszufinden. Wir können diesen Punkt verschieben. Und wir können die Asymptote verschieben. Und die Asymptote ist wirklich interessant. Wir haben gesagt, dass je negativer x wird, desto mehr strebt y gegen 5. Also verschiebe ich sie nach hier oben. Das ist also unsere Asymptote. Sie sieht noch nicht danach aus, aber wenn wir ein paar x- und die dazugehörigen y-Werte ausprobieren, und diese Punkte entsprechend verschieben, sieht unser Exponential hoffentlich richtig aus. Wir nehmen praktische x-Werte. Was passiert, wenn x = 0 ist? Wenn x = 0 ist, dann ist 3^0 = 1. -2 ⋅ 1 = -2, -2 + 5 = 3. Wenn x = 0, dann ist y = 3. Jetzt schauen wir uns x = 1 an. 3^1 = 3, 3 ⋅ (-2) = -6, -6 + 5 = -1. Wenn x = 1 ist, dann ist y = -1. Stimmt das mit dem überein, was wir eben beschrieben haben? Wenn x stark negativ ist, sollten wir gegen +5 streben, und das scheint zu stimmen. Wenn wir nach links gehen, kommen wir 5 immer näher, es sieht sogar so aus, als würden sie überlappen, aber wir nähern uns nur immer mehr, da dieser Term hier immer kleiner wird, je negativer x wird. Aber dann, wenn x immer positiver wird, wird dieser Term stark negativ, da wir ihn mit -2 multiplizieren, und wir sehen, dass er stark negativ wird, also habe ich ein gutes Gefühl bei unserer Darstellung. Wir haben die horizontale Asymptote dargestellt, und wir haben zwei Punkte gefunden, die auf dem Graphen dieses Exponentials liegen. Ich überprüfe meine Antwort und sie ist richtig.