Umwandeln von Exponentialgraphen (Beispiel 2)

Der Graph der Exponentialfunktion y = 2^x ist hier unten abgebildet. Welche der folgenden ist ein Graph von y = -1 ⋅ 2^(x + 3) + 4? Wir haben hier vier Antwortmöglichkeiten. Bevor wir sie uns genauer ansehen, überlegen wir, wie der Graph aussehen würde, wenn wir ihn so verändern. Dir fällt vielleicht auf, dass dieses y, für das wir den Graph finden sollen, eine Veränderung dieser ursprünglichen Funktion ist. Wie haben wir sie verändert? Wir haben x durch x + 3 ersetzt. Dann haben wir mit -1 multipliziert und 4 addiert. Wir gehen es schrittweise durch. Das hier ist y = 2^x. Als nächstes möchte ich y = 2^(x + 3) zeichnen. Wenn wir x durch x + 3 ersetzen, verschiebt sich der Graph um 3 nach links. Das klingt vielleicht etwas verwirrend, aber wenn wir uns ein paar Punkte anschauen, ergibt es hoffentlich Sinn. In unserem ursprünglichen Graphen haben wir z.B. bei x = 0 den Wert y = 1. Wie erhalten wir y = 1 für unseren neuen Graphen hier? Um hier y = 1 zu erhalten, muss der Exponent hier immer noch 0 sein, und das passiert bei x = -3. y = 1. Wir haben eine Verschiebung um 3 nach links. Genauso haben wir in unserem ursprünglichen Graphen bei x = 2, y = 4. Wie erhalten wir y = 4 bei dieser Funktion? Damit y = 4 wird, muss dieser Exponent hier 2 sein, weil 2^2 = 4 ist. Damit dieser Exponent 2 wird, muss x = -1 sein. Wenn x = -1 ist, dann ist y = 4. Wir haben eine Verschiebung um 3 nach links. Unser Graph für y = 2^(x + 3) sieht also so aus, es ist der Graph für y = 2^x um 3 nach links verschoben. Jetzt multiplizieren wir diesen Ausdruck mit -1. Wir kommen unserem Ziel immer näher. Jetzt suchen wir den Graphen für y = -1 ⋅ 2^(x + 3). Wenn wir y = 2^(x + 3) mit -1 multiplizieren, bekommen wir das Negative des ursprünglichen y-Wertes. Anstatt bei x = -3 als Ergebnis 1 zu bekommen, haben wir bei x = -3 als Ergebnis -1, da wir mit -1 multipliziert haben. Wenn x = -1 ist, haben wir anstatt 4 ein Ergebnis von -4. Unser Graph ist also entlang der x-Achse gespiegelt. Er sieht ungefähr so aus. Es ist keine perfekte Zeichnung, aber sie gibt uns ein paar Anhaltspunkte. Jetzt kümmern wir uns um die + 4. Wir wollen den Graphen von y = -1 ⋅ 2^(x + 3) + 4 finden. Wir nehmen den Graphen von eben und verschieben ihn um 4 nach oben. Anstatt -1 haben wir hier -1 + 4 = 3. Anstatt -4 haben wir -4 + 4 = 0. Anstatt einer horizontalen Asymptote an der Stelle y = 0 befindet sie sich jetzt bei y = 4. Unsere horizontale Asymptote ist dort drüben, und unser Graph sieht ungefähr so aus. Wir haben den roten Graphen um 4 nach oben verschoben. Wir haben eine horizontale Asymptote bei y = 4. Jetzt schauen wir uns die Antwortmöglichkeiten an. Antwort A hat eine horizontale Asymptote bei y =4, ist aber falsch in die horizontale Richtung verschoben. Es sieht so aus, als wäre sie nicht nach links verschoben worden. Wir können sie also ausschließen. Diese Antwort strebt gegen unsere Asymptote, je größer x wird, sie kann also nicht stimmen. Sie sollte gegen unsere Asymptote streben, je kleiner x wird, also können wir sie auch ausschließen. Antwort C sieht aus wie das, was wir gezeichnet haben. Horizontale Asymptote bei x = 4. Wenn x = -3, dann ist y = 3. Das haben wir auch. Wenn x = -1 ist, dann ist y = 0. Sieht gut aus. Du könntest diese Punkte sogar ausprobieren. Wir entscheiden uns für C. Antwort D ist eindeutig falsch.