Dividiere Polynome durch x (mit Resten)

Vereinfache den Ausdruck: (18x⁴ - 3x² + 6x - 4)/6x. Es gibt mehrere Lösungsansätze, die alle gleichwertig sind. Du kannst diesen Ausdruck auch als 18x⁴/6x - 3x²/6x + 6x/6x - 4/6x schreiben. In diesem Ansatz habe ich den Zähler hier oben aufgeteilt. Wenn ich (a + b + c)/d habe, ist das dasselbe wie a/d + b/d + c/d. Ich hoffe, dadurch wird es offensichtlicher. Du kannst es auch so betrachten, als würdest du die Division verteilen. Wenn ich einen kompletten Ausdruck durch etwas dividiere, ist das dasselbe wie jeden einzelnen Term dadurch zu dividieren. Du kannst es auch so betrachten, dass wir diesen ganzen Ausdruck multiplizieren. Das ist dasselbe wie 1/6x multipliziert mit dem gesamten Ausdruck 18x⁴ - 3x² + 6x - 4. Hier wenden wir nur das Distributivgesetz an, um das hier unten zu erhalten. Entscheide dich für den Ansatz, der dich am meisten anspricht, sie sind alle gleichwertig. Es sind alles logische, gute Ansätze um diesen Ausdruck zu vereinfachen. In dieser Form haben wir jetzt ein paar Monome, die wir einfach durch 6x dividieren. Wir können hier einfach Exponenteneigenschaften anwenden. Beim ersten Term können wir die Koeffizienten durcheinander dividieren. 18 dividiert durch 6 ergibt 3. Dann haben wir x⁴ dividiert durch x. Wenn einfach nur x dasteht, ist es dasselbe wie x¹. Also rechnen wir x⁴ dividiert durch x¹. Von x⁴ wird ein Grad abgezogen, also erhalten wir x³. Dann haben wir diese Koeffizienten hier drüben. Wir haben -3 dividiert durch 6. Darum kümmern wir uns als Nächstes. -3 dividiert durch 6 ergibt -1/2. Dann haben wir x² dividiert durch x. Wir wissen bereits, dass x dasselbe wie x¹ ist. Wir subtrahieren also einen Grad von x² und erhalten x¹. Oder ich lasse es einfach als x stehen. Dann haben wir diese Koeffizienten: 6 dividiert durch 6. Das ergibt einfach nur 1. Ich kann jetzt hier eine 1 hinschreiben. Ich schreibe sie auch hierhin, da wir 2 - 1 = 1 gerechnet haben. x dividiert durch x ist dasselbe wie x¹ dividiert durch x¹. Du kannst es auf zwei Arten betrachten. Alles, was durch sich selbst geteilt wird ergibt 1. Oder du betrachtest es so, dass man x¹ durch x¹ dividiert, wodurch wir von x¹ einen Grad subtrahieren, was x⁰ ergibt, was ebenfalls 1 ergibt. Du wusstest schon, wie das funktioniert, bevor du diese Exponenteneigenschaft gelernt hast, da x / x = 1 und man annimmt, dass x ≠ 0 ist. Wir müssen annehmen, dass x ≠ 0 in diesem ganzen Ausdruck ist. Sonst würden wir durch 0 dividieren. Und zum Schluss haben wir 4 dividiert durch 6x. Und das können wir auch auf verschiedene Arten betrachten. Die einfachste Art ist, -4/6 als -2/3 zu schreiben. Ich habe nur den Bruch vereinfacht. Und dann multiplizieren wir ihn mit 1/x. Das kann man auch als 4 ⋅ 1/x schreiben. Du hättest es auch als 4 ⋅ x⁰ und das als x¹ betrachten können. Wenn du es dann mithilfe der Exponenteneigenschaften vereinfachen willst, würdest du von x⁰ ein Grad abziehen und x⁻¹ erhalten. Wir hätten hier also x⁻¹ hinschreiben können, aber es ist exakt dasselbe wie 1/x. Also schreiben wir unsere Antwort komplett vereinfacht. 3x³ - 1/2x + 1, da das hier einfach 1 ergibt, und dann -2 ⋅ 1 im Zähler / 3 ⋅ x im Nenner. Wir sind fertig. Aber wir könnten den letzten Term auch anders vereinfachen, und ihn als -2/3x⁻¹ schreiben. Aber wenn du keinen negativen Exponenten möchtest, kannst du es auch so schreiben.