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Polynome mit Rest dividieren

Sal dividiert (x^3+5x-4) durch (x^2-x+1) mit schriftlicher Division. Erstellt von Sal Khan und Monterey Institut für Technologie und Bildung

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Video-Transkript

Wir dividieren (x³ + 5x - 4) durch (x² - x + 1). Wir könnten es auch anders aufschreiben, z.B. als Bruch: (x³ + 5x - 4) / (x² - x + 1). Da wir eine algebraische schriftliche Division durchführen werden, ist wahrscheinlich die beste Form, es folgendermaßen zu schreiben: x² - x + 1 ist der Divisor, der Dividend ist x³ + ... Ich lasse hier etwas frei, da wir keinen x²-Term haben. Ich lasse aber etwas Platz dafür, damit wir alles an richtiger Stelle haben, wenn wir die Division durchführen. x³ + ... + 5x - 4. Wir haben einen Platz für den Term dritten Grades, zweiten Grades, ersten Grades und nullten Grades. Jetzt machen wir eine schriftliche Division. Wir suchen den Term höchsten Grades. Wie oft passt x² in x³? x² passt genau x-mal in x³. x³ / x² = x³⁻² = x¹ = x. Also x-mal. Ich schreibe das x hierhin. Und wir multiplizieren x mit diesem gesamten Ausdruck. x ⋅ x² = x³. x ⋅ (-x) = -x². x ⋅ 1 = x. Jetzt wollen wir diesen Ausdruck vom oben stehenden Ausdruck subtrahieren. Das ist genau dasselbe, wie die Gegenzahlen zu addieren, oder jeden dieser Terme mit -1 zu multiplizieren und dann zu addieren. Also machen wir das. Wir haben -x³. -1 ⋅ (-x²) = x². x ⋅ (-1) = -x. Jetzt addieren wir alles. x³ - x³ kürzt sich weg. 0 + x² = x². 5x - x = 4x. Und dann holen wir uns die -4 von oben. Wir addieren nichts zu ihr hinzu. Du kannst dir hier eine 0 denken. Wir holen uns also die -4. Jetzt schauen wir uns die Terme mit den höchsten Graden an. x² passt genau einmal in x². Es ist dasselbe, also schreiben wir +1 auf. Dann haben wir 1 ⋅ x² = x². 1 ⋅ (-x) = -x. 1 ⋅ 1 = 1. Jetzt wollen wir das voneinander subtrahieren, oder die Gegenzahlen addieren. Und um die Gegenzahlen zu addieren, können wir einfach jeden dieser Terme mit -1 multiplizieren. x² wird zu -x². -x ⋅ (-1) = x. 1 ⋅ (-1) = -1. Jetzt addieren wir. x² - x² kürzt sich weg. 4x + x = 5x. -4 - 1 = -5. Du willst vielleicht weiter dividieren, aber das kannst du nicht. Der hochgradigste Term hier ist jetzt höher als der hochgradigste Term den wir dividieren wollen. Also haben wir einen Rest. Das Ergebnis ist also x + 1 + den Rest (5x - 5) / (x² - x + 1). Wenn das teilbar wäre, könnten wir weiter dividieren, aber das ist es nicht. Es hat nun einen geringeren Grad als der Term hier unten. Wir sagen also es ist x + 1 + das, was der Rest dividiert durch das hier ergibt. Ich schreibe unser Ergebnis nochmal auf. x + 1 + (5x - 5) / (x² - x + 1). Wir können überprüfen, ob es stimmt. Wenn wir diesen Ausdruck mit diesem Ausdruck multiplizieren, sollten wir x³ + 5x - 4 erhalten. Machen wir das also. Multiplizieren wir diesen Ausdruck mit x² - x + 1. Um das zu tun, multiplizieren wir das ganze Trinom mit jedem einzelnen dieser Terme. Beim ersten Term rechnen wir (x² - x + 1) ⋅ x. Wir rechnen also x ⋅ x² = x³, x ⋅ (-x) = -x², x ⋅ 1 = x. Dann multiplizieren wir den Ausdruck mit 1. Das ergibt x² - x + 1. Ich habe alle Terme mit 1 multipliziert. Und dann multiplizieren wir den Ausdruck mit diesem Bruch. Der Ausdruck und der Nenner des Bruchs sind gleich. Also kürzt es sich weg. Es bleibt nur noch der Zähler übrig: + 5x - 5. Jetzt können wir versuchen, den Ausdruck zu vereinfachen. Wir haben nur einen Term dritten Grades: x³. x³ steht hier. Unsere Terme zweiten Grades sind -x² und +x². Sie kürzen sich also weg. Unsere Terme ersten Grades sind +x und -x, die sich wegkürzen, also bleibt nur noch 5x hier drüben übrig. Wir schreiben also + 5x auf. Und dann haben wir die Terme nullten Grades bzw. die konstanten Terme. Wir haben 1 und -5. Wir addieren sie und erhalten -4. Unser Ergebnis ist also x³ + 5 x - 4, genau dasselbe wie hier oben.